Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§3 Teilfolgen

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] 3.1. Teilfolgen und Häufungswerte

Eine Indexfolge (nk) ist eine streng monoton wachsende Folge in \mathbb N (z.B. nk = k2,Nk = 2k).

Ist (an) eine reelle Folge und (xk) eine Indexfolge, dann heisst die Folge (a_{n_k}) eine Teilfolge von (an ).

a \in \mathbb R heisst Häufungswert von (an), wenn es eine Teilfolge (a_{n_k}) gibt mit a_{n_k} \to a (k \to \infty)

Beispiel: an = ( − 1)n = ... − 1,1, − 1,1

a_{2_k}=1 \to 1

a_{2_{k-1}}=-1 \to -1

Beispiel: a_n=\sqrt [n]{2^n+3^{n(-1)^n}}

a_{2_n}=\sqrt[2n]{2^{2n}+3^{2n}}=\sqrt[2n]{3^{2n}(1+(\frac 23)^{2n})}=3*\underbrace{\sqrt[2n]{\underbrace{1+(\frac 23)^{2n}}}_{\to 1}}_{\to 1} \to 3

a_{2n+1}=\sqrt[2n+1]{2^{2n+1}+3^{-(2n-1)}}=2*\sqrt[2n+1]{1+\frac 16 ^{2n-1}} \to 2

[Bearbeiten] 3.2. Satz von Bolzano-Weierstrass

Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge.

[Bearbeiten] 3.3. Cauchykriterium

[Bearbeiten] 3.4. Limes superior und inferior

[Bearbeiten] 3.5. Satz

[Bearbeiten] 3.6. Satz

[Bearbeiten] 3.7. Regeln

[Bearbeiten] 3.8. Satz von Heine-Borel

[Bearbeiten] 3.9. Unbeschränkte Folgen

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.

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