Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§5 Der Körper der komplexen Zahlen

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] 5.1. Die Ebene

[Bearbeiten] 5.2. Komplexe Zahlen

[Bearbeiten] 5.3. Gauß'sche Ebene

z = x + iy

\bar z:= x-iy ist die zu z konjugiert komplexe Zahl.

x= Re z Realteil von z

y= Im z Imaginärteil von z

[Bearbeiten] 5.4. Regeln

Re z = \frac{1}{2} (z + \bar z),

Im z = \frac{1}{2i} (z - \bar z),

z * \bar z = x^2 + y^2,

\overline{z+w} = \bar z + \bar w,

\overline{z*w} = \bar z * \bar w,

\overline{\frac{z}{w}} = \frac{\bar z}{\bar w} (w \neq 0),

\frac{z}{w} = \frac{z* \bar w}{w* \bar w} \Rightarrow rellen Nenner, insbesondere \frac{1}{z} = \frac{\bar z}{z* \bar z}

Beweis: ...

[Bearbeiten] 5.5. Dreiecksungleichung (in \mathbb C)

\left | z \right | := \sqrt{z \bar z} = \sqrt{x^2 + y^2} heißt der Betrag von z.

\left | z+w \right | \leq \left | z \right | + \left | w \right | (Dreiecksungleichung)

\left | \left | z \right | - \left | w \right | \right | \leq \left | z-w \right | (umgekehrte Dreiecksungleichung)

"=" genau dann, wenn z = 0 oder w = 0 oder z \bar w \geq 0

Beweis: ...

[Bearbeiten] 5.6. Binomische Formel und geometrische Summenformel

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.

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