Kurs:Analysis III/Kapitel VI: Lineare partielle Differentialgleichungen im R^n

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] §1 Das Maximumprinzip für elliptische Differentialgleichungen

[Bearbeiten] Definition 1

Sei \Omega \subset \mathbb{R}^n mit n \in \mathbb{N} ein Gebiet, in dem die stetigen Koeffizientenfunktionen a_{ij}(x), b_i(x), c(x): \Omega \to \mathbb{R} \in C^0(\Omega) für i, j = 1, \ldots, n erklärt sind. Weiter sei die Matrix (a_{ij}(x))_{i, j = 1, \ldots, n} für alle x \in \Omega symmetrisch. Den linearen, partiellen Differentialoperator zweiter Ordnung \mathcal{L}: C^2(\Omega) \to C^0(\Omega) erklärt durch
(1) \mathcal{L} u(x) := \sum^n_{i, j = 1} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u(x) + \sum^n_{i = 1} b_i(x) \frac{\partial}{\partial x_i} u(x) + c(x) u(x), \quad x \in \Omega
nennen wir elliptisch bzw. degeneriert elliptisch, falls
\sum^n_{i, j = 1} a_{ij}(x) \xi_i \xi_j > 0 bzw. \sum^n_{i, j = 1} a_{ij}(x) \xi_i \xi_j \ge 0
für alle \xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n) \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\} und alle x \in \Omega erfüllt ist. Gibt es Elliptizitätskonstanten 0 < m \le M < + \infty, so dass
m |\xi|^2 \le \sum^n_{i, j = 1} a_{ij}(x) \xi_i \xi_j \le M |\xi|^2
für alle \xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n) \in \mathbb{R}^n und alle x \in \Omega richtig ist, so heißt \mathcal{L} gleichmäßig elliptisch. Im Falle c(x) \equiv 0, x \in \Omega bezeichnen wir den reduzierten Differentialoperator mit \mathcal{M} u(x) := \mathcal{L} u(x), x \in \Omega.

[Bearbeiten] Satz 1 (Eindeutigkeit und Stabilität)

I. \mathcal{L} sei ein degeneriert elliptischer Differentialoperator auf dem beschränkten Gebiet \Omega \subset \mathbb{R}^n mit der Koeffizientenfunktion c(x) \le 0, x \in \Omega.
II. Es gebe Konstanten 0 < m \le M < + \infty, so dass
(2) m \le a_{11}(x) \le M, \quad |b_1(x)| \le M, \quad |c(x)| \le M für alle x \in \Omega, \quad \Omega \subset B_M := \Bigl\{ x \in \mathbb{R}^n: |x| < M \Bigr\}
erfüllt ist.
III. Schließlich sei u=u(x) \in C^2(\Omega) \cap C^0(\overline{\Omega}) eine Lösung des Dirichletproblems
(3) \mathcal{L} u(x) = f(x) in \Omega, \quad u(x) = g(x) auf \partial \Omega
mit Funktionen f = f(x) \in C^0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) und g = g(x) \in C^0(\partial \Omega)
Behauptung: Dann gibt es eine Konstante \gamma = \gamma(m, M) \in [0, + \infty), so dass gilt
(4) |u(x)| \le \max_{y \in \partial \Omega} |g(y)| + \gamma(m, M) \sup_{y \in \Omega} |f(y)|, \quad x \in \overline{\Omega}.

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir betrachten die Hilfsfunktion v(x) := e^{\beta x_1}, x \in \overline{\Omega} mit zunächst noch beliebigem β > 0. Wir berechnen

\mathcal{L} v(x) = a_{11}(x) \beta^2 e^{\beta x_1} + b_1(x) \beta e^{\beta x_1} + c(x) e^{\beta x_1}
\ge e^{\beta x_1} \Bigl( m \beta^2 - M \beta - M \Bigr) \ge e^{- \beta(m, M) M}, \quad x \in \Omega,

wobei wir β = β(m,M) so groß gewählt haben, dass m \beta^2 - M \beta - M \ge 1 erfüllt ist.

2. Mit noch zu fixierendem \varrho > 0 erklären wir die Hilfsfunktion

w(x) := \pm u(x) + \varrho \Bigl( v(x) - e^{\beta M} \Bigr) - \max_{y \in \partial \Omega} |g(y)|, \quad x \in \overline{\Omega}.

Wegen c(x) \le 0 in Ω können wir abschätzen

\mathcal{L} w(x) := \pm \mathcal{L} u(x) + \varrho \mathcal{L} v(x) - c(x) \left( \varrho e^{\beta M} + \max_{y \in \partial \Omega} |g(y)| \right)
\ge \pm f(x) + \varrho e^{- \beta M} \ge - \sup_{y \in \Omega} |f(y)| + \varrho e^{- \beta M}, \quad x \in \Omega.

Wählen wir nun \varrho = e^{\beta(m, M) M} \left( \sup_{y \in \Omega} |f(y)| + \varepsilon \right) mit festem \varepsilon > 0, so folgt

(5) \mathcal{L} w(x) \ge \varepsilon > 0 für alle x \in \Omega.

3. Für x \in \partial \Omega berechnen wir

w(x) = \pm u(x) + \varrho (v(x) - e^{\beta M}) - \max_{y \in \partial \Omega} |g(y)| \le \pm g(x) - \max_{y \in \partial \Omega} |g(y)| \le 0.

Nun gilt w(x) \le 0 sogar für alle x \in \overline{\Omega}. Wäre dieses nämlich nicht der Fall, so existiert ein z \in \Omega mit w(x) \le w(z) für alle x \in \Omega. Dann gilt

\mathcal{L} w(z) = \mathcal{M} w(z) + c(z) w(z) \le 0

im Widerspruch zu (5). Also folgt

\pm u(x) \le \max_{y \in \partial \Omega} |g(y)| + \varrho e^{\beta M} = \max_{y \in \partial \Omega} |g(y)| + e^{2 \beta M} \left( \sup_{y \in \Omega} |f(y)| + \varepsilon \right)

für alle x \in \overline{\Omega} und alle \varepsilon > 0. Nach Grenzübergang \varepsilon \downarrow 0 ergibt sich schließlich

|u(x)| \le \max_{y \in \partial \Omega} |g(y)| + \gamma(m, M) \sup_{y \in \Omega} |f(y)|, \quad x \in \overline{\Omega}

mit γ(m,M): = e2β(m,M)M.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Das Hopfsche Maximumprinzip)

I. \mathcal{M} = \mathcal{M} u, u \in C^2(\Omega) bezeichne einen reduzierten elliptischen Differentialoperator auf dem Gebiet \Omega \subset \mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}.
II. Für u = u(x) \in C^2(\Omega) sei die Differentialgleichung
\mathcal{M} u(x) \ge 0, \quad x \in \Omega
erfüllt und u nehme in einem Punkt z \in \Omega ihr Maximum an, d. h.
u(z) \ge u(x) für alle x \in \Omega.
Behauptung: Dann folgt u(x) \equiv u(z) für alle x \in \Omega.

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten die nicht leere, in Ω abgeschlossene Menge

\Theta := \left\{ x \in \Omega: u(x) = \sup_{y \in \Omega} u(y) =: s \right\} \neq \emptyset

und zeigen, dass diese Menge offen ist. Da Ω ein Gebiet ist, folgt durch Fortsetzung die Identität Θ = Ω und somit

u(x) \equiv s = u(z) für alle x \in \Omega.

Sei also \xi \in \Theta beliebig gewählt. Dann betrachten wir für beliebiges \eta \in \Omega mit

|\eta - \xi| < \frac{1}{2} \operatorname{dist}\, (\xi, \mathbb{R}^n \setminus \Omega)

die Kugel G := B_\varrho(\eta) vom Radius \varrho := |\eta - \xi| um den Punkt η. Offenbar gilt G \subset \subset \Omega und \xi \in \partial G. Wir können also Elliptizitätskonstanten 0 < m \le M < + \infty so angeben, dass \mathcal{M} u, u \in C^2(G) gleichmäßig elliptisch ist. Wäre nun u(η) < s = u(ξ) erfüllt, so gilt die Ungleichung

\frac{\partial u}{\partial \nu} (\xi) = \nabla u(\xi) \cdot \nu > 0

im Widerspruch zu \nabla u(\xi) = 0. Somit folgt u(η) = s. Da dies für beliebige \eta \in \Omega mit |\eta - \xi| < \frac{1}{2} \operatorname{dist}\, (\xi, \mathbb{R}^n \setminus \Omega) gilt, erhalten wir B_r(\xi) \subset \Theta mit einem 0 < r < \frac{1}{2} \operatorname{dist}\, (\xi, \mathbb{R}^n \setminus \Omega). Also ist Θ offen.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Scharfes Maximumprinzip)

I. Sei \Omega \subset \mathbb{R}^n ein Gebiet und z \in \partial \Omega ein Randpunkt von Ω, für den folgendes gilt: Es gibt eine Kugel B_\varrho(z) und eine Funktion \varphi = \varphi(x) \in C^2(B_\varrho(z)) mit \nabla \varphi(z) \neq 0 und \varphi(z) = 0, so dass
\Omega \cap B_\varrho(z) = \Bigl\{ x \in B_\varrho(z): \varphi(x) < 0 \Bigr\}
erfüllt ist.
II. Die Koeffizientenfunktionen a_{ij}(x), b_i(x) \in C^0(\overline{\Omega}), i, j = 1, \ldots, n seien so gegeben, dass der reduzierte partielle Differentialoperator
\mathcal{M} u(x) = \sum^n_{i, j = 1} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u(x) + \sum^n_{i = 1} b_i(x) \frac{\partial}{\partial x_i} u(x), \quad x \in \Omega
gleichmäßig elliptisch auf Ω ist.
III. Die Funktion u = u(x) \in C^2(\Omega) \cap C^0(\overline{\Omega}) genüge der Differentialgleichung
\mathcal{M} u(x) \ge 0 für alle x \in \Omega.
IV. Schließlich nehme u in z ihr Maximum an, d. h.
u(x) \le u(z) für alle x \in \Omega
und für ihre dort existierende Ableitung in Richtung der äußeren Normale ν an \partial \Omega gelte
\frac{\partial u}{\partial \nu} (x) = 0.
Behauptung: Dann folgt u(x) \equiv u(z) für alle x \in \overline \Omega.

[Bearbeiten] Beweis

Wegen Voraussetzung I kann man eine Kugel G = Br(ξ) mit einem \xi \in \Omega und r > 0 so bestimmen, dass

G \subset \Omega, \quad \overline G \cap \partial \Omega = \{z\}, \quad \nu(z) = |z - \xi|^{- 1} (z - \xi)

richtig ist. Wäre nun u(ξ) < u(z) erfüllt, so würde nach dem Hopfschen Randpunktlemma \frac{\partial u}{\partial \nu} (x) > 0 folgen, im Widerspruch zu Voraussetzung IV. Also nimmt u ihr Maximum im inneren Punkt \xi \in \Omega an und Satz 2 liefert u(x) \equiv u(z) für alle x \in \Omega.

[Bearbeiten] Definition 2

Der lineare elliptische Differentialoperator \mathcal{L} heißt stabil, falls es eine Funktion v(x): \Omega \to (0, + \infty) \in C^2(\Omega) mit
\mathcal{L} v(x) \le 0 für alle x \in \Omega
gibt.

[Bearbeiten] §2 Quasilineare elliptische Differentialgleichungen

[Bearbeiten] Satz 1 (Eindeutige Lösbarkeit des gemischten Randwertproblems)

I. Es sei \Omega \subset \mathbb{R}^2 ein beschränktes Gebiet. Der Rand \partial \Omega enthalte eine - eventuell leere - Teilmenge \Gamma \subsetneqq \partial \Omega mit den folgenden Eigenschaften:
a) Die Menge \partial \Omega \setminus \Gamma ist abgeschlossen.
b) Für alle \xi \in \Gamma gibt es ein \varrho = \varrho(\xi) \in (0, + \infty) und eine Funktion \varphi = \varphi(x) \in C^2(B_\varrho(\xi)) mit \varphi(\xi) = 0 und \nabla \varphi(\xi) \neq 0, so dass gilt
\Omega \cap B_\varrho(\xi) = \Bigl\{ y \in B_\varrho(\xi): \varphi(y) < 0 \Bigr\}.
II. Die stetigen Funktionen f = f(x): \partial \Omega \setminus \Gamma \to \mathbb{R} und g = g(x): \Gamma \to \mathbb{R} seien vorgelegt.
III. Die beiden Funktionen u = u(x): \overline{\Omega} \to \mathbb{R} und v = v(x): \overline{\Omega} \to \mathbb{R} der Regularitätsklasse C^2(\Omega) \cap C^0(\overline{\Omega}) \cap C^1(\Omega \cup \Gamma) seien Lösungen des gemischten, quasi linearen, elliptischen Randwertproblems
(1) \sum^n_{i, j = 1} A^{ij}(x, \nabla u(x)) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u(x) + B(x, u(x), \nabla u(x)) = 0, \quad x \in \Omega,
(2) f(x) = u(x), \quad x \in \partial \Omega \setminus \Gamma,
(3) \frac{\partial}{\partial \nu} u(x) = g(x), \quad x \in \Gamma.
Dabei bezeichnet \nu = \nu(x): \Gamma \to S^{n - 1} die äußere Normale auf Γ an Ω.
IV. Schließlich gelte
B_z(x, z, p) \le 0 für alle (x, z, p) \in \Omega \times \mathbb{R}^{n + 1}.
Behauptung: Dann folgt u(x) \equiv v(x) für alle x \in \overline \Omega.

[Bearbeiten] Beweis

Die Funktion

w(x) := u(x) - v(x) \in C^2(\Omega) \cap C^0(\overline{\Omega}) \cap C^1(\Omega \cup \Gamma)

genügt der linearen, elliptischen Differentialgleichung

(4) \sum^n_{i, j = 1} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} w(x) + \sum^n_{i = 1} b_i(x) \frac{\partial}{\partial x_i} w(x) + c(x) w(x) = 0, \quad x \in \Omega,

die in einer Umgebung von Γ gleichmäßig elliptisch ist. Weiter erfüllt w die homogenen Randbedingungen

w(x) = 0, \quad x \in \partial \Omega \setminus \Gamma und \frac{\partial}{\partial \nu} w(x) = 0, \quad x \in \Gamma.

Wegen Voraussetzung IV gilt für den Koeffizienten

c(x) := \int\limits_0^1 B_z(x, v(x) + t w(x), \nabla v(x))\, dt \le 0 für alle x \in \Omega.

Nach Satz 2 und Satz 3 aus §1 kann w(x) weder in Ω noch auf Γ ihr globales Maximum und globales Minimum annehmen. Somit folgt w(x) \equiv 0 bzw.

u(x) \equiv v(x) in Ω.

q.e.d.

[Bearbeiten] §3 Die Wärmeleitungsgleichung

[Bearbeiten] Satz 1 (Fourier-Plancherelsches Integraltheorem)

Der lineare Operator
\tilde g(x) := \mathbf{F}^{- 1}(g) \Big|_x := (2\pi)^{- \frac{n}{2}} \int\limits_{\mathbb{R}^n} e^{i\xi \cdot x} g(\xi)\, d\xi, \quad g \in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)
kann stetig fortgesetzt werden auf den Hilbertraum
\mathcal{H} := L^2(\mathbb{R}^n) := \left\{ \varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}: \varphi\ ist\ Lebesgue\text{-}messbar\ und\ es\ gilt\ \int\limits_{\mathbb{R}^n} |\varphi(\xi)|^2\, d\xi < +\infty \right\}
mit dem inneren Produkt
(\varphi, \psi) := \int\limits_{\mathbb{R}^n} \varphi(\xi) \overline{\psi}(\xi)\, d\xi, \quad \varphi, \psi \in \mathcal{H}.
Die Abbildung \mathbf{F}^{- 1}: \mathcal{H} \to \mathcal{H} besitzt die Umkehrabbildung
\tilde f(\xi) := \mathbf{F}(f) \Big|_\xi := (2\pi)^{- \frac{n}{2}} \int\limits_{\mathbb{R}^n} e^{- i\xi \cdot x} f(x)\, dx, \quad f \in C_0^\infty(\mathbb{R}^n),
die wiederum stetig auf \mathcal{H} fortgesetzt werden kann. Weiter sind \mathbf{F} und \mathbf{F}^{-1} isometrische Operatoren auf \mathcal{H}, d. h.
(\mathbf{F} \varphi, \mathbf{F} \psi) = (\varphi, \psi) = (\mathbf{F}^{- 1} \varphi, \mathbf{F}^{- 1} \psi) für alle \varphi, \psi \in \mathcal{H}
und es gilt
(\mathbf{F} \varphi, \psi) = (\varphi, \mathbf{F}^{- 1} \psi) für alle \varphi, \psi \in \mathcal{H}.

[Bearbeiten] Beweis

Dieser Satz wird später bewiesen.

[Bearbeiten] Definition 1

Wir nennen den Operator \mathbf{F}: \mathcal{H} \to \mathcal{H} die Fouriertransformation und \mathbf{F}^{- 1} die inverse Fouriertransformation.

[Bearbeiten] Definition 2

Die Funktion
K(x, y, t) := (4\pi t)^{- \frac{n}{2}} \exp \left\{ \frac{|x - y|^2}{4t} \right\}, \quad x \in \mathbb{R}^n, \quad y \in \mathbb{R}^n, \quad t \in \mathbb{R}_+
nennen wir die Kernfunktion der Wärmeleitungsgleichung.

[Bearbeiten] Satz 2 (Parabolisches Maximum-Minimum-Prinzip)

Sei u = u(x, y) \in C^2(\Omega_T) \cap C^0(\Omega_T \cup \Delta \Omega_T) eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung
\Delta_x u(x, t) - \frac{\partial}{\partial t} u(x, t) = 0, \quad (x, t) \in \Omega_T
Dann folgt
\min_{(\xi, \tau) \in \Delta \Omega_T} u(\xi, \tau) =: m \le u(x, t) \le M := \max_{(\xi, \tau) \in \Delta \Omega_T} u(\xi, \tau), \quad (x, t) \in \Omega_T.

[Bearbeiten] Beweis

Durch eine Anwendung auf die Hilfsfunktionen

u(x,t) − M und m - u(x, t), (x, t) \in \Omega_T \cup \Delta \Omega_T

erhält man sofort die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Eindeutigkeitssatz für die Wärmeleitungsgleichung)

Gegeben sei die beschränkte, stetige Funktion f = f(x): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \in C^0(\mathbb{R}^n). Dann gibt es genau eine beschränkte Lösung u des Anfangswertproblems für die Wärmeleitungsgleichung zu dieser Funktion f, d. h.
(1) u = u(x, t) \in C^2(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+, \mathbb{R}) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times [0, + \infty), \mathbb{R}),
(1) \Delta_x u(x, t) - \frac{\partial}{\partial t} u(x, t) = 0 in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+,
(1) u(x, 0) = f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
(1) \sup_{(x, t) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+} |u(x, t)| < + \infty.

[Bearbeiten] Beweis

Seien u = u(x,t) und v = v(x,t) zwei Lösungen von (1), so setzen wir

M := \sup_{\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+} |u(x, t)| + \sup_{\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+} |v(x, t)| \in [0, +\infty).

Für die Funktion

w(x, t) = u(x, t) - v(x, t) \in C^2(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+, \mathbb{R}) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times [0, + \infty), \mathbb{R})

gilt dann

(2) \Delta_x u(x, t) - \frac{\partial}{\partial t} u(x, t) = 0 in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+,
(2) u(x, 0) = f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
(2) |w(x, t)| \le M für alle (x, t) \in \mathbb{R}^n \times [0, + \infty).

Wir wählen nun Zahlen T \in \mathbb{R}_+ sowie R \in \mathbb{R}_+ und erklären zu der Kugel B_R := \{x \in \mathbb{R}^n: |x| < R\} den parabolischen Zylinder

B_{R, T} := \Bigl\{ (x, t) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+: x \in B_R, t \in (0, T] \Bigr\}

mit dem parabolischen Rand

\Delta B_{R, T} = \Bigl\{ (x, t) \in \overline{B_R} \times [0, T]: x\in \partial B_R \text{ oder } t = 0 \Bigr\}.

Auf BR,T betrachten wir sowohl die Lösung w(x,t) des Problems (2) als auch die Funktion

(3) W(x, t) := \frac{2nM}{R^2} \left( \frac{|x|^2}{2n} + t \right).

Die Funktion W genügt der Differentialgleichung

\left( \Delta_x - \frac{\partial}{\partial t} \right) W(x, t) = \frac{2nM}{R^2} \left( 1 - 1 \right) = 0, \quad (x, t) \in B_{R, T}

und auf dem parabolischen Rand gilt

|w(x, t)| \le W(x, t), \quad (x, t) \in \Delta B_{R, T}.

Anwendung des parabolischen Maximum-Minimum-Prinzips liefert nun

(4) |w(x, t)| \le W(x, t) = \frac{2nM}{R^2} \left( \frac{|x|^2}{2n} + t \right), \quad (x, t) \in B_{R, T}.

Lassen wir nun R \to + \infty in Formel (4) streben, so folgt

w(x, t) = 0, \quad x \in \mathbb{R}^n, \quad t \in (0, T]

mit beliebigem T \in \mathbb{R}_+. Somit haben wir w(x, t) \equiv 0 bzw. u(x, t) \equiv v(x, t) in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+.

q.e.d.

[Bearbeiten] §4 Charakteristische Flächen

[Bearbeiten] Definition 1

Sei \varphi = \varphi(y_1, \ldots, y_{n + 1}): \Omega \to \mathbb{R} \in C^2(\Omega) eine nicht konstante Funktion, für welche die Menge
\mathcal{F} := \Bigl\{ y \in \Omega: \varphi(y) = 0 \Bigr\}
nicht leer ist. Wir nennen \mathcal{F} eine charakteristische Fläche für die Differentialgleichung
(1) \mathcal{L} u(y) := \sum^{n + 1}_{j, k = 1} a_{jk}(y) \frac{\partial^2}{\partial x_j \partial x_k} u(y) + \sum^{n + 1}_{j = 1} b_j(y) \frac{\partial}{\partial x_j} u(y) + c(y) u(y) = h(y),
falls die zugehörige quadratische Form
(2) Q[\varphi](y) := \sum^{n + 1}_{j, k = 1} a_{jk}(y) \frac{\partial\varphi}{\partial y_j} (y) \frac{\partial\varphi}{\partial y_k} (y), \quad y \in \Omega
die Bedingung
Q[\varphi](y) = 0 für alle y \in \mathcal{F}
erfüllt. Andererseits heißt \mathcal{F} nicht charakteristische Fläche, wenn gilt
Q[\varphi](y) \neq 0 für alle y \in \mathcal{F}.
Im Falle n = 1 sprechen wir von charakteristischen bzw. nicht charakteristischen Kurven.

[Bearbeiten] Definition 2

Zu dem Gebiet \Omega \subset \mathbb{R}^n und Zahlen - \infty \le t_1 < t_2 \le + \infty betrachten wir die Dose
\Omega_{t_1, t_2} := \Bigl\{ (x, t) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}: x \in \Omega, t \in (t_1, t_2) \Bigr\}.
Wir erklären den d'Alembert-Operator \Box: C^2(\Omega_{t_1, t_2}) \to C^0(\Omega_{t_1, t_2}) durch
(3) \Box u(x_1, \ldots, x_n, t) := \frac{\partial^2}{\partial t^2} u(x_1, \ldots, x_n, t) - c^2 \Delta_x u(x_1, \ldots, x_n, t)
für (x_1, \ldots, x_n, t) \in \Omega \times (t_1, t_2). Dabei ist c > 0 eine feste positive Konstante (welche im physikalischen Kontext die Lichtgeschwindigkeit darstellt).

[Bearbeiten] Satz 1 (Energieabschätzung für die Wellengleichung)

Der Punkt (\xi, \tau) = (\xi_1, \ldots, \xi_n, \tau) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+ mit dem zugehörigen Kegel
K = K(\xi, \tau) := \Bigl\{ (x, t) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+: t \in (0, \tau), |x - \xi| < c (\tau - t) \Bigr\}
sei gegeben. Weiter sei u = u(x, t) \in C^2(K) \cap C^1(\overline{K}) eine Lösung der homogenen Wellengleichung
(4) \Box u(x, t) + q(x, t) \frac{\partial}{\partial t} u(x, t) = 0 in K.
Hierbei ist q = q(x, t) \in C^0(K, [0, + \infty)) ein nicht negatives, stetiges Potenzial auf K.
Dann gilt für alle s \in (0, \tau) die Energieungleichung
(5) \int\limits_{x: |x - \xi| < c (\tau - s)} \left\{ c^2 |\Delta_x u(x, s)|^2 + \left| \frac{\partial}{\partial t} u(x, s) \right|^2 \right\}\, dx \le \int\limits_{x: |x - \xi| < c\tau} \left\{ c^2 |\Delta_x u(x, 0)|^2 + \left| \frac{\partial}{\partial t} u(x, 0) \right|^2 \right\}\, dx.

[Bearbeiten] Beweis

1. Mit Hilfe der Transformation (x, t) \mapsto (c(x + \xi), t) ziehen wir uns auf den Fall ξ = 0,c = 1 zurück. Die Koeffizientenmatrix des d'Alembert-Operators hat dann die Form

(6) (a_{jk})_{j, k = 1, \ldots, n + 1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & -1 & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & +1 \end{pmatrix}.

Für s \in (0, \tau) betrachten wir die Dose

D = D(s) := \Bigl\{ (x, t) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+: t \in (0, \tau) |x| < \tau - t, t \in (0, s) \Bigr\},

dessen Rand \partial D = \mathcal{F}_0 \cup \mathcal{F}_s \cup \mathcal{F} aus den drei Hyperflächen \mathcal{F}_0, \mathcal{F}_s und \mathcal{F} besteht. Dabei ist \mathcal{F} = \partial D \cap \partial K(0, \tau) eine charakteristische Fläche für die Differentialgleichung (4) mit der äußeren Normale

\nu = \nu(x, t) = (\nu_1(x, t), \ldots, \nu_n(x, t), \nu_{n + 1}(x, t)) = (\tilde \nu(x, t), \nu_{n + 1}(x, t))
= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{x}{|x|}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right), \quad (x, t) \in \mathcal{F}.

Für die Flächen

\mathcal{F}_0 := \Bigl\{ (x, t) \in \partial D \setminus \partial K(0, \tau): t = 0 \Bigr\}

bzw.

\mathcal{F}_s := \Bigl\{ (x, t) \in \partial D \setminus \partial K(0, \tau): t = s \Bigr\}

erhalten wir die äußere Normale

\nu = \nu(x, 0) = (0, \ldots, 0, - 1), \quad (x, 0) \in \mathcal{F}_0,
\nu = \nu(x, s) = (0, \ldots, 0, + 1), \quad (x, s) \in \mathcal{F}_s.

2. Wir multiplizieren nun (4) mit 2ut(x,t) und berechnen

(7) 0 = 2ut(utt − Δxu(x,t)) + 2q(x,t)(ut(x,t))2
= \frac{\partial }{\partial t} \Bigl[ (u_t)^2 \Bigr] - 2 \operatorname{div}_x\, (u_t \nabla_x u) + 2\nabla_x u_t \cdot \nabla_x u + 2q(u_t)^2
= \frac{\partial}{\partial t} \left[ |\nabla_x u(x, t)|^2 + \left| \frac{\partial}{\partial t} u(x, t) \right|^2 \right] + \operatorname{div}_x\, (-2 u_t \nabla_x u) + 2q(u_t)^2

für (x, t) \in D. Integrieren wir (7) mit Hilfe des Gaußschen Satzes über die Dose D = D(s), so erhalten wir

0 = 2 \int\limits_D q(x, t) (u_t(x, t))^2\, dxdt + \int\limits_{\mathcal{F}_s} \left\{ |\nabla_x u(x, s)|^2 + \left| \frac{\partial}{\partial t} u(x, s) \right|^2 \right\}\, dx
- \int\limits_{\mathcal{F}_0} \left\{ |\nabla_x u(x, 0)|^2 + \left| \frac{\partial}{\partial t} u(x, 0) \right|^2 \right\}\, dx
+ \int\limits_{\mathcal{F}} \left\{ - 2u_t \nabla_x u \cdot \tilde \nu + \frac{1}{\sqrt{2}} \Bigl( |\nabla_x u|^2 + |u_t|^2 \Bigr) \right\}\, d\sigma(x, t)
\ge \int\limits_{\mathcal{F}_s} \Bigl\{ |\nabla_x u(x, s)|^2 + |u_t(x, s)|^2 \Bigr\}\, dx - \int\limits_{\mathcal{F}_0} \Bigl\{ |\nabla_x u(x, 0)|^2 + |u_t(x, 0)|^2 \Bigr\}\, dx.

Es ist nämlich q(ut)2 nicht negativ und es gilt

|2u_t \nabla_x u \cdot \tilde \nu| \le 2 |u_t| |\nabla_x u| |\tilde \nu| = \frac{2}{\sqrt{2}} |u_t| |\nabla_x u| \le \frac{1}{\sqrt{2}} \Bigl( |\nabla_x u|^2 + |u_t|^2 \Bigr)

auf \mathcal{F}. Es folgt also

\int\limits_{\mathcal{F}_s} \left\{ |\nabla_x u(x, s)|^2 \left| \frac{\partial}{\partial t} u(x, s) \right|^2 \right\}\, dx \le \int\limits_{\mathcal{F}_0} \left\{ |\nabla_x u(x, 0)|^2 \left| \frac{\partial}{\partial t} u(x, 0) \right|^2 \right\}\, dx.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Eindeutigkeit des Cauchyschen Anfangswertproblems für die Wellengleichung)

Die Voraussetzungen von Satz 1 seien erfüllt und u = u(x,t) genüge zusätzlich den homogenen Cauchyschen Anfangsbedingungen
(8) u(x,0) = 0 = ut(x,0) für alle x \in \mathbb{R}^n mit | x − ξ | < cτ.
Dann folgt u(x, t) \equiv 0 auf K = K(ξ,τ).

[Bearbeiten] Beweis

Aus den Anfangsbedingungen (8) lesen wir ab

c^2 |\nabla_x u(x, 0)|^2 + \left| \frac{\partial}{\partial t} u(x, 0) \right|^2 = 0, \quad |x - \xi| < c\tau

und die Energieabschätzung aus Satz 1 liefert

\int\limits_{x: |x - \xi| < c (\tau - s)} \left\{ c^2 |\Delta_x u(x, s)|^2 + \left| \frac{\partial}{\partial t} u(x, s) \right|^2 \right\}\, dx = 0 für alle s \in (0, \tau).

Somit folgt \nabla_x u(x, t) \equiv 0 \equiv u_t(x, t) auf K und daher u(x, t) \equiv \operatorname{const}. Wiederum aus (8) erhalten wir schließlich

u(x, t) \equiv 0 in K.

q.e.d.

[Bearbeiten] §5 Die Wellengleichung im \mathbb{R}^n für n = 1,3,2

[Bearbeiten] Satz 1 (d'Alembert)

Zu vorgegebenen Funktionen f = f(x) \in C^2(\mathbb{R}) und g = g(x) \in C^1(\mathbb{R}) stellt die Funktion
(1) u(x, t) = \frac{1}{2} \Bigl\{ f(x + ct) + f(x - ct) \Bigr\} + \frac{1}{2c} \int\limits_{x - ct}^{x + ct} g(\xi)\, d\xi, \quad (x, t) \in \mathbb{R}^2
die eindeutig bestimmte Lösung des Cauchyschen Anfangswertproblems für die eindimensionale Wellengleichung \mathcal{P}(f, g, 1) dar.

[Bearbeiten] Definition 1

Sei f = f(x) \in C^2(\mathbb{R}^n) gegeben. Wir nennen die Funktion
(2) v = v(x, r) = M(x, r; f) := \frac{1}{\omega_n} \int\limits_{|\xi| = 1} f(x + r\xi)\, d\sigma(\xi), \quad (x, r) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}
den sphärischen Integralmittelwert von f über die Sphäre
\partial B_{|r|}(x) := \Bigl\{ y \in \mathbb{R}^n: |y - x| = |r| \Bigr\}.

[Bearbeiten] Satz 2 (F. John)

Zu vorgegebenem f = f(x) \in C^k(\mathbb{R}^n) mit k \ge 2 gehört die Funktion v = v(x, r) = M(x, r; f): \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} der Regularitätsklasse C^k(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}) an und es gelten die folgenden Aussagen:
a) v(x,0) = f(x) für alle x \in \mathbb{R}^n.
b) v(x, − r) = v(x,r) für alle x \in \mathbb{R}^n, \quad r \in \mathbb{R}.
c) \frac{\partial}{\partial r} v(x, 0) = 0 für alle x \in \mathbb{R}^n.
d) \frac{\partial^2}{\partial r^2} v(x, r) + \frac{n - 1}{r} \frac{\partial}{\partial r} v(x, r) - \Delta_x v(x, r) = 0 im \mathbb{R}^n \times (\mathbb{R} \setminus \{0\}).

[Bearbeiten] Beweis

a) Aus (2) ersehen wir v \in C^k(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}) und

v(x, 0) = \frac{1}{\omega_n} \int\limits_{|\xi| = 1} f(x)\, d\sigma(\xi) = f(x) für alle x \in \mathbb{R}^n.

b) und c) Ebenfalls aus (2) lesen wir sofort ab v(x, − r) = v(x,r) und Differentiation liefert − vr(x,0) = vr(x,0) für alle x \in \mathbb{R}^n.

d) Wir führen auf der Sphäre S^{n - 1}(x) := \{y \in \mathbb{R}^n: |y - x| = 1\} Polarkoordinaten ein:

y = x + r\xi, \quad \xi \in S^{n - 1}, \quad r > 0.

Nach Kapitel I, §8 wird der Laplaceoperator in diesen Koordinaten zu

\Delta = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{n - 1}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \mathbf{\Lambda},

wobei \mathbf{\Lambda} den Laplace- Beltrami-Operator auf der Sphäre Sn − 1 bezeichnet. In Kapitel I, §8 haben wir die Symmetrie von \mathbf{\Lambda} auf Sn − 1nachgewiesen. Wir erhalten damit für alle x \in \mathbb{R}^n und r > 0 die Gleichung

\Delta_x v(x, r) = \frac{1}{\omega_n} \int\limits_{|\xi| = 1} \Delta_x f(x + r\xi)\, d\sigma(\xi)
= \frac{1}{\omega_n} \int\limits_{|\xi| = 1} \left\{ \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{n - 1}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \mathbf{\Lambda} \right\} f(x + r\xi)\, d\sigma(\xi)
= \left\{ \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{n - 1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \right\} v(x, r) + \frac{1}{r^2 \omega_n} \int\limits_{|\xi| = 1} 1 \cdot \mathbf{\Lambda} f(x + r\xi)\, d\sigma(\xi)
= \left\{ \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{n - 1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \right\} v(x, r) + \frac{1}{r^2 \omega_n} \int\limits_{|\xi| = 1} (\mathbf{\Lambda} 1) \cdot f(x + r\xi)\, d\sigma(\xi) = \left\{ \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{n - 1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \right\} v(x, r),

denn \mathbf{\Lambda} 1 = 0. Also ist die Darbouxsche Differentialgleichung für alle x \in \mathbb{R}^n und r > 0 erfüllt. Da diese invariant unter der Spiegelung r \mapsto - r ist, bleibt sie gültig für alle x \in \mathbb{R}^n und r < 0.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Kirchhoff)

Es seien Funktionen f = f(x) \in C^3(\mathbb{R}^3) und g = g(x) \in C^2(\mathbb{R}^3) vorgegeben. Dann wird das Cauchysche Anfangswertproblem \mathcal{P}(f, g, 3) für die dreidimensionale Wellengleichung eindeutig gelöst durch die Funktion
(3) u(x, t) = \frac{\partial}{\partial t} \Bigl\{ tM(x, ct; f) \Bigr\} + tM(x, ct; g) = \frac{1}{4\pi c^2 t^2} \iint\limits_{|y - x| = ct} \Bigl\{ tg(y) + f(y) + \nabla f(y) \cdot (y - x) \Bigr\}\, d\sigma(y)
für (x, t) \in \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}_+.

[Bearbeiten] Beweis

1. Gemäß Satz 2 für den Fall n = 3 erfüllt die Funktion v(x, r) = M(x, r; g), (x, r) \in \mathbb{R}^3 \times (\mathbb{R} \setminus \{0\}) die Darbouxsche Differentialgleichung

0 = v_{rr}(x, r) + \frac{2}{r} v_r(x, r) - \Delta_x v(x, r) = \frac{1}{r} \{r v(x, r)\}_{rr} - \Delta_x v(x, r).

Multiplikation mit r liefert

0 = \frac{\partial^2}{\partial r^2} \{r v(x, r)\} - \Delta_x \{r v(x, r)\}, \quad (x, r) \in \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}.

Wir betrachten nun die Funktion

\psi(x, t) := \frac{1}{c} \Bigl\{ ctv(x, ct) \Bigr\} = tv(x, ct) = \frac{t}{4\pi} \iint\limits_{|\xi| = 1} g(x + ct\xi)\, d\sigma(\xi)

mit (x, t) \in \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}. Diese genügt der Wellengleichung

(4) \Box \psi(x, t) = \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi(x, t) - c^2 \Delta_x \psi(x, t) = 0 im \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}

und erfüllt die Anfangsbedingungen

(5) \psi(x, 0) = 0, \quad \frac{\partial}{\partial t} \psi(x, 0) = v(x, 0) = g(x) für alle x \in \mathbb{R}^3.

2. Wie in Teil 1 des Beweises sieht man, dass die Funktion

\chi(x, t) := tM(x, ct; f) = \frac{t}{4\pi} \iint\limits_{|\xi| = 1} f(x + ct\xi)\, d\sigma(\xi), \quad (x, t) \in \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}

der Wellengleichung \Box \chi(x, t) = 0 im \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R} genügt. Ferner gilt \chi \in C^3(\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}). Wir betrachten nun die Funktion

\varphi(x, t) := \frac{\partial}{\partial t} \chi(x, t) = \frac{\partial}{\partial t} \{t M(x, ct; f)\} = M(x, ct; f) + t \frac{\partial}{\partial t} M(x, ct; f)
= \frac{1}{4\pi} \iint\limits_{|\xi| = 1} f(x + ct\xi)\, d\sigma(\xi) + \frac{1}{4\pi} \frac{\partial}{\partial t} \left\{ \iint\limits_{|\xi| = 1} f(x + ct\xi)\, d\sigma(\xi) \right\}
= \frac{1}{4\pi} \iint\limits_{|\xi| = 1} \Bigl\{ f(x + ct\xi) + ct \nabla f(x + ct\xi) \cdot \xi \Bigr\}\, d\sigma(\xi).

Auch \varphi erfüllt die Wellengleichung und wir haben die Anfangsbedingungen

\varphi(x, 0) = M(x, 0; f) = f(x),
\frac{\partial}{\partial t} \varphi(x, 0) = \frac{\partial^2}{\partial t^2} \chi(x, 0) = c^2 \Delta_x \chi(x, 0) = c^2 \Bigl\{ t \Delta_x M(x, ct; f) \Bigr\}_{t = 0} = 0

für alle x \in \mathbb{R}^3.

3. Mit

u(x, t) := \varphi(x, t) + \psi(x, t) = \frac{\partial}{\partial t} \Bigl\{ t M(x, ct; f) \Bigr\} + t M(x, ct; g)
= \frac{1}{4\pi} \iint\limits_{|\xi| = 1} \Bigl\{ f(x + ct\xi) + ct \nabla f(x + ct\xi) \cdot \xi + tg(x + ct\xi) \Bigr\}\, d\sigma(\xi).

für (x, t) \in \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R} erhalten wir eine Lösung der Wellengleichung und wegen (5) und obigen Anfangsbedingungen genügt u den Anfangsbedingungen

u(x, 0) = f(x), \quad \frac{\partial}{\partial t} u(x, 0) = g(x), \quad x \in \mathbb{R}^3.

Verwenden wir nun die Substitution y = x + ctξ,dσ(y) = c2t2dσ(ξ), so folgt für alle (x, t) \in \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}_+ die Identität

u(x, t) = \frac{1}{4\pi c^2 t^2} \iint\limits_{|y - x| = ct} \Bigl\{ tg(y) + f(y) + \nabla f(y) \cdot (y - x) \Bigr\}\, d\sigma(y).

q.e.d.

[Bearbeiten] §6 Die Wellengleichung im \mathbb{R}^n für n \ge 2

[Bearbeiten] Satz 1 (Mittelwertsatz von Asgeirsson)

Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Analysis_III/Kapitel_VI:_Lineare_partielle_Differentialgleichungen_im_R%5En“
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