Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/11/Klausur

Aufgabe * (3 Punkte)

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}3146$ und ${}1515$ und man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}3146$ und ${}1515$ mittels dieser Zahlen an.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik ${}p$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge mit ${}n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf ${}M$, die

1. reflexiv
2. symmetrisch
3. reflexiv und symmetrisch

sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}x\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ eine Einheit. Es sei ${}a$ die Ordnung von ${}x$ in der additiven Gruppe ${}(\mathbb {Z} /(p),+,0)$ und es sei ${}b$ die Ordnung von ${}x$ in der multiplikativen Gruppe ${}({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\cdot ,1)$. Zeige, dass ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(13)$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Erläutere die Begriffe „Linksnebenklasse“, „Index“ und „Normalteiler“. Zeige, dass eine Untergruppe vom Index ${}2$ ein Normalteiler ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen ${}3$, ${}4$ und ${}7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(7)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=3\!\!\mod 4{\text{ und }}x=1\!\!\mod 7.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Betrachte die beiden Permutationen

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\sigma (x)$	${}2$	${}5$	${}3$	${}7$	${}1$	${}4$	${}8$	${}6$

und

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\tau (x)$	${}4$	${}5$	${}2$	${}8$	${}6$	${}7$	${}1$	${}3$

Berechne ${}\sigma \tau$ und ${}\tau \sigma$. Bestimme die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen von ${}\tau$. Man gebe die Zyklendarstellung von ${}\sigma$ und von ${}\sigma ^{3}$ an. Was ist die Ordnung von ${}\sigma$?

Aufgabe * (5 Punkte)

Formuliere und beweise den Satz von Cayley für endliche Gruppen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$. Definiere die Begriffe „Halbachse von ${}G$“ und erläutere, wann zwei Halbachsen „äquivalent“ sind. Zu einer Halbachse ${}H$ sei

$G_{H}={\left\{g\in G\mid g(H)=H\right\}}.$

Zeige, dass zu zwei äquivalenten Halbachsen

${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ die Gruppen ${}G_{H_{1}}$ und ${}G_{H_{2}}$ isomorph sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ ein Ring mit ${}0\neq 1$ und

$\varphi \colon K\longrightarrow R$

ein Ringhomomorphismus. Zeige direkt (ohne Bezug auf Sätze der Vorlesung), dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise mit Hilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ${}\mathbb {Z}$, dass ${}9^{1/3}$ irrational ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

$X^{3}-1$

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in ${}\mathbb {R} [X]$ und in ${}{\mathbb {C} }[X]$ an.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-7)$ das Inverse von ${}3x+4$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$).

Die folgende Aufgabe verwendet den Begriff der algebraischen Körpererweiterung.

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$, heißt algebraisch, wenn jedes Element ${}f\in L$ algebraisch über ${}K$ ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$ algebraische Körpererweiterungen. Zeige, dass dann auch ${}K\subseteq M$ eine algebraische Körpererweiterung ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$, ${}a,b\in \mathbb {R}$, eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl ${}{\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} }$ sowie der Real- und der Imaginärteil von ${}z$ algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung

${\mathbb {A} }\cap \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {A} }.$

(${}\mathbb {A}$ bezeichnet dabei den Körper der algebraischen Zahlen.)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Gerade ${}G$ gegeben, auf der zwei Punkte als ${}0$ und ${}1$ ausgezeichnet seien, so dass man diese Gerade mit den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ identifizieren kann. Es seien zwei Zahlen ${}a$ und ${}b$ auf ${}G$ gegeben. Beschreibe, wie man die beiden Zahlen durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal miteinander multiplizieren kann, so dass das Produkt wieder auf ${}G$ liegt (dabei darf die Konstruktion von Parallelen und Senkrechten verwendet werden). Skizziere die Situation.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.

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