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Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Arbeitsblatt 7/latex

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\setcounter{section}{7}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise aus der Existenzeinführung im Antezedens die \stichwort {All\-einführung im Sukzedens} {.} Sie besagt, dass man aus
\mathdisp {\vdash \beta \rightarrow \alpha \frac{y}{x}} { }
unter der Bedingung, dass $y$ weder in $\forall x \alpha$ noch in $\beta$ frei vorkommt, auf
\mathdisp {\vdash \beta \rightarrow \forall x \alpha} { }
schließen kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige
\mathdisp {\vdash \exists x (x=y)} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

a) Zeige
\mathdisp {\vdash \exists x (\alpha \wedge \beta) \rightarrow \exists x \alpha \wedge \exists x \beta} { . }

b) Zeige, dass
\mathdisp {\exists x \alpha \wedge \exists x \beta \rightarrow \exists x (\alpha \wedge \beta)} { }
keine \definitionsverweis {Tautologie}{}{} ist.

}
{} {}

Die beiden folgenden Aufgaben sind vermutlich mühselig.


\inputaufgabe
{}
{

Man gebe einen \definitionsverweis {formalen Beweis}{}{} für die Aussage, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {surjektiven Abbildungen}{}{} auf einer Menge wieder surjektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe einen \definitionsverweis {formalen Beweis}{}{} für die Aussage, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {injektiven Abbildungen}{}{} auf einer Menge wieder injektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\Gamma$ eine Ausdrucksmenge aus einer \definitionsverweis {Sprache erster Stufe}{}{} und $\alpha$ ein weiterer Ausdruck. Es sei $\alpha$ nicht aus $\Gamma$ \definitionsverweis {ableitbar}{}{.} Zeige, dass man aus
\mathl{\Gamma \cup \{\neg \alpha \}}{} keinen Widerspruch \zusatzklammer {also keinen Ausdruck der Form
\mathl{\beta \wedge \neg \beta}{}} {} {} ableiten kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\Gamma$ eine Menge von $S$-\definitionsverweis {Ausdrücken}{}{,} die über beliebig großen endlichen Grundmengen \definitionsverweis {erfüllbar}{}{} ist. Zeige, dass $\Gamma$ auch über einer unendlichen Menge erfüllbar ist.

}
{} {} Wegen der vorstehenden Aussage gibt es keinen Ausdruck, der genau in allen endlichen Grundmengen gilt. Dennoch kann man die (Un-)endlichkeit prädikatenlogisch charakterisieren.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Ausdrucksmenge}{}{} $\Gamma$ mit der Eigenschaft gibt, dass für jede \definitionsverweis {Interpretation}{}{} $I$ genau dann
\mathl{I \vDash \Gamma}{} gilt, wenn die Grundmenge der Interpretation unendlich ist.

}
{} {}


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