Lösung
- Ein Monoid ist eine Menge zusammen mit einer
Verknüpfung
-
und einem ausgezeichneten Element derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt
-
für alle .
- ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt
-
für alle .
- Man nennt die kleinste positive Zahl mit die Ordnung von . Wenn alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man .
- Das Element ist ein Nichtnullteiler, wenn für jedes aus
folgt, dass
ist.
- Ein Körper ist ein
kommutativer Ring,
wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element in ein multiplikatives Inverses besitzt.
- Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- Für alle ist auch .
- Für alle und ist auch .
- Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von .
- Es sei
eine
Körpererweiterung,
über der in Linearfaktoren zerfällt. Es seien
die Nullstellen von . Dann nennt man
-
einen Zerfällungskörper von .
- Eine Zahl heißt konstruierbar, wenn sie aus der Startmenge
-
mit Zirkel und Lineal konstruierbar
ist.
Lösung
- Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
-
- Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
- Jedes Element
, ,
besitzt eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
-
mit einer Einheit und ganzzahligen Exponenten .
- Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels
Zirkel und Lineal
in drei gleich große Teile zu unterteilen.
Lösung
Wir müssen nur für die Primzahlen bestimmen, mit welcher Potenz sie in vorkommen. Wegen (2) kommt mit der dritten Potenz vor, aber nicht mit der vierten. Wegen (3) ist kein Teiler von , da ja ein Teiler ist, und wegen (4) ist ein Teiler von . Wegen (4) kommt mit der zweiten Potenz vor, aber nicht mit der dritten. Daher ist
-
Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine
Primzahl?
Lösung
Lösung
Es ist
-
Bestimme die
Einheiten
im Ring , wobei ein
Körper
ist.
Lösung
Lösung
Aufgabe (3 (1.5+1.5) Punkte)
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
-
die Restetupel
und
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
-
Lösung
a) : Wir betrachten die Vielfachen von , diese haben modulo und modulo den Rest . Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. hat modulo den Rest , somit hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .
: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest und hat modulo den Rest , also repräsentiert das Restetupel .
: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest und hat modulo den Rest , also repräsentiert das Restetupel .
b) Man schreibt
(in )
-
Die Lösung ist dann
Die minimale Lösung ist dann
.
Lösung
Es sei ein idempotentes Element. Dies bedeutet
-
und somit ist ein Vielfaches von , sagen wir
-
Nehmen wir an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ist
-
und
-
mit
-
Wären , so wäre sowohl
als auch
ein Vielfaches von , und das würde dann auch für
gelten, was nicht der Fall ist. Also ist
oder ,
was
oder
im Restklassenring bedeutet.
Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)
a) Zeige, dass durch
-
ein Körper mit Elementen gegeben ist.
b) Berechne in das Produkt .
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .
Lösung
a) Es ist
-
Also besitzt das Polynom keine Nullstelle in
und ist somit irreduzibel, also ist ein Körper. Die Restklassen von bilden eine -Basis, so dass dieser Körper Elemente besitzt.
b) Es ist
c) Polynomdivision liefert
-
In gilt somit
-
Das Inverse von
in
ist
, also ist
-
das Inverse von
.
Lösung
Zum Beweis der Inklusion sei . Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass
-
wobei
-
mit ist. Dies bedeutet wiederum, dass
-
mit
und
ist. Somit ist
-
Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit Faktoren, wobei Faktoren zu und Faktoren zu gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die und auch .
Zum Beweis der Inklusion genügt es, die Inklusion für jedes zu zeigen. Wegen ist aber sofort
-
Aufgabe (7 (1+2+4) Punkte)
Lösung
a) Das Polynom ist für rationale
(auch reelle)
Zahlen stets positiv und besitzt daher keine Nullstelle. Nach
Lemma 6.9
ist es somit irreduzibel.
b) Über hat man die Faktorisierung
-
Die beiden Faktoren haben keine reelle Nullstelle, da stets positiv ist. Eine Zerlegung über würde zu der gegebenen Zerlegung über führen, wegen gehören aber nicht zu . Das Polynom ist also irreduzibel in .
c) Wir machen den Ansatz
-
Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf
Also ist
-
und
-
Aus
-
folgt durch Addition der ersten beiden Gleichungen
und damit
-
Aus
-
folgt
-
also
-
und aus
-
ergibt sich
-
und somit
-
Die Partialbruchzerlegung ist also
-
Lösung
Wir setzen
und .
Es sei eine
-Basis
von und eine -Basis von
.
Wir behaupten, dass die Produkte
-
eine
-Basis von
bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum
über
aufspannen. Es sei dazu . Wir schreiben
-
Wir können jedes
als
mit Koeffizienten
ausdrücken. Das ergibt
Daher ist eine -Linearkombination der Produkte .
Um zu zeigen, dass diese Produkte
linear unabhängig sind, sei
-
angenommen mit . Wir schreiben dies als . Da die linear unabhängig über sind und die Koeffizienten der zu gehören folgt, dass ist für jedes . Da die linear unabhängig über sind und ist folgt, dass ist für alle .
Lösung
Da keine dritte Wurzel in besitzt, ist das Polynom in
irreduzibel.
Daher ist
-
eine Körpererweiterung vom Grad drei. Es sei die eindeutig bestimmte reelle dritte Wurzel aus . Durch die Zuordnung können wir als Unterkörper von auffassen. In
(und in )
hat das Polynom die Zerlegung
-
Da es in nur eine dritte Wurzel gibt, und da keine Nullstelle des rechten Faktors ist, ist das Polynom
-
über und erst recht über irreduzibel. Von daher ist nicht der Zerfällungskörper. In der quadratischen Erweiterung
-
zerfällt das Polynom und damit auch in Linearfaktoren. Der Grad des Zerfällungskörpers ist also
nach der Gradformel
gleich .
Um eine Realisierung des Zerfällungskörpers in zu erhalten, betrachten wir
-
Die Lösungen dazu sind in gleich
-
Daher ist der Zerfällungskörper gleich
-
Lösung
Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele
konstruierbare
Punkte gibt.
Lösung