Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 13/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass das Bild unter einem Ringhomomorphismus ein Unterring ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Umkehrabbildung eines Ringisomorphismus wieder ein Ringhomomorphismus ist.
Aufgabe Aufgabe 13.3 ändern
Es seien Ringe. Zeige die folgenden Eigenschaften.
- Die Identität ist ein Ringhomomorphismus.
- Sind und Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ein Ringhomomorphismus.
- Ist ein Unterring, so ist die Inklusion ein Ringhomomorphismus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und sei der kanonische Homomorphismus. Zeige, dass die Charakteristik von der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kernideals ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Integritätsbereich der Charakteristik . Zeige, dass die Ordnung von jedem Element , , ebenfalls ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Berechne das Bild des Polynoms unter dem durch definierten Einsetzungshomomorphismus .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch definierte Einsetzungshomomorphismus von nach injektiv ist und dass der durch erzeugte Unterring isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und der Nullring. Bestimme die Ringhomomorphismen von nach und die Ringhomomorphismen von nach .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die komplexe Konjugation ein Körperautomorphismus ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Körperautomorphismen von .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Ring und seien und zwei Mengen mit den in Aufgabe 2.9 konstruierten Ringen und . Zeige, dass eine Abbildung einen Ringhomomorphismus
induziert.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei
ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung
ein Ringautomorphismus des Polynomrings ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring der Charakteristik . Zeige, dass die Ordnung von jedem Element , , ein Teiler von ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Berechne das Bild des Polynoms unter dem durch definierten Einsetzungshomomorphismus .
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass ein Polynom genau dann irreduzibel ist, wenn das um „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in die Variable durch ersetzt) irreduzibel ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung
ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.
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