Kurs:Funktionentheorie/Kette

Eine Kette ist eine formale Linearkombination von Kurven, wir haben

Definition

Sei $G\subseteq \mathbb {C}$, sei $n\in \mathbb {N}$ und seien $\gamma _{i}\colon [a_{i},b_{i}]\to G$ Kurven in $G$ und $n_{i}\in \mathbb {Z}$. Dann heißt die formale Linearkombination $\sum _{i=1}^{n}n_{i}\gamma _{i}$ eine Kette in $\mathbb {C}$. Die Menge aller Ketten in $G$, die in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe ist, wird mit $C(G)$ bezeichnet.

Die Spur einer Kette ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven, also

$\mathrm {spur} (\Gamma ):=\bigcup _{i=1}^{n}\mathrm {spur} (\gamma _{i})$

Zykel

Eine Kette $\Gamma =\sum _{i=1}^{n}n_{i}\gamma _{i}\in C(G)$ mit $\gamma _{i}\colon [a_{i},b_{i}]\to G$ heißt Zykel, wenn jeder Punkt von $G$ gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in $G$ auftritt, d. h. wenn

$\sum _{i=1}^{n}n_{i}|\{i:\gamma _{i}(a_{i})=z\}|=\sum _{i=1}^{n}n_{i}|\{i:\gamma _{i}(b_{i})=z\}|$

für jedes $z\in G$ gilt.

Innen- und Außengebiet

Sei $\Gamma$ ein Zykel in $\mathbb {C}$, mit Hilfe der Umlaufzahl kann man eine durch $\Gamma$ bestimmte Zerlegung von $\mathbb {C}$ in drei Teile betrachten, nämlich:

1. Die Spur $\mathrm {spur} (\Gamma )$
2. Das Außengebiet, diejenigen Punkte, die nicht von $\Gamma$ umlaufen werden, also $A_{\Gamma }:=\{z\in \mathbb {C} \setminus \mathrm {spur} (\Gamma ):n(\Gamma ,z)=0\}$
3. Das Innengebiet sind diejenigen Punkte, die von $\Gamma$ umlaufen werden, also $I_{\Gamma }:=\{z\in \mathbb {C} \setminus \mathrm {spur} (\Gamma ):n(\Gamma ,z)\neq 0\}$