Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{C(\R,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
von $\R$ nach $\R$. Handelt es sich um einen
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es im Ring der
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{C(\R,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {,}
stetige Funktionen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es gebe ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (fg){{|}}_{[a-\epsilon,a+\epsilon]}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass die Einschränkung
\mathl{g{{|}}_{[a-\delta,a+\delta]}}{} die Nullfunktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es stetige Funktionen
\maabbdisp {f,g} {\R_{\geq 0}} {\R
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
weder
\mathl{f {{|}}_{[0, \delta]}}{} noch
\mathl{g {{|}}_{[0, \delta]}}{} die Nullfunktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {C(\R,\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} { { \left\{ f \in R \mid f(x) = 0 \text{ für alle } x \in T \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten das Ideal zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ \{0\}
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Sinne von
Aufgabe 10.5.
Ist dies ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ \operatorname{C}^0 \, (\R, \R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ring der stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$. Entscheide, ob die folgenden Teilmengen von $C$ einen
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
bilden.
\aufzaehlungdrei{Die Menge der stetigen
$2 \pi$-\definitionsverweis {periodischen}{}{} Funktionen.
}{Die Menge der stetigen
\definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{.}
}{Die Menge der stetigen
\definitionsverweis {ungeraden Funktionen}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine Teilmenge von $\R$ und $C(X, \R)$ der \definitionsverweis {Ring der stetigen Funktionen}{}{} von $X$ nach $\R$. Dann ist durch \maabbeledisp {\varphi} { C(\R, \R) } { C(X, \R) } {f} { f \vert_X } {,} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} gegeben. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn $X$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist. } {Für welche Mengen $X$ ist $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{?} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
\zusatzklammer {oder
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
oder eine Teilmenge von $\R$ oder von ${\mathbb C}$} {} {.}
Wir betrachten zu einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C(U)
}
{ =} { { \left\{ f: U \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {man kann auch ${\mathbb C}$ statt $\R$ nehmen, oder, falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen ist, auch differenzierbare Funktionen} {} {.}
Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C_P
}
{ =} { { \left\{ f: U \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} , \, P \in U \text{ offene Umgebung} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wobei zwei Funktionen
\mathl{f,g}{} miteinander identifiziert werden, wenn sie auf einer offenen Umgebung von $P$ übereinstimmen.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass $C_P$ ein kommutativer Ring ist
\zusatzklammer {dieser Ring heißt \stichwort {Ring der Keime stetiger Funktionen} {}} {} {.}
} {Zeige, dass $C_P$ ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ der
\definitionsverweis {Ring der Keime stetiger Funktionen}{}{}
in Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass in $R$ das
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
nicht von $X$
\zusatzklammer {also der Identität} {} {}
\definitionsverweis {erzeugt}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und sei $R$ die Menge aller Keime von
\definitionsverweis {analytischen Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C}
} {,}
die in einer offenen Umgebung $U$ von $P$ definiert sind
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 10.9} {} {.}
Zeige, dass $R$ mit dem
\definitionsverweis {Ring der konvergenten Potenzreihen}{}{}
${\mathbb C}\langle \! \langle T-P \rangle \!\rangle $ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ \varphi(P)
}
{ = }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu jeder stetigen Funktion
\maabb {} {V} { {\mathbb K}
} {}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
gehört die stetige Funktion
\maabbdisp {f \circ \varphi} { \varphi^{-1} (V)} { {\mathbb K}
} {.}
Zeige, dass durch diese Zuordnung ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi^*} {C_{Y,Q}} { C_{X,P}
} {}
zwischen den
\definitionsverweis {Ringen der Keime stetiger Funktionen}{}{}
festgelegt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme zur Funktion
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} \setminus \{0 \} } { {\mathbb C}
} {z} { z^{-1}
} {,}
die Potenzreihenentwicklung für jeden Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über die
\definitionsverweis {Taylorentwicklung}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
der Potenzreihe im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zur Funktion
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} \setminus \{0 \} } { {\mathbb C}
} {z} { z^{-1}
} {,}
gleich $c$ ist
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 10.13} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{{\sum }_{ n=0 }^{ \infty } c_{ n } T ^{ n }
}
{ \in }{ {\mathbb C}\langle \! \langle T \rangle \!\rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $F$ als konvergente Potenzreihe mit der Ordnung als formale Potenzreihe übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { {\sum }_{ n=0 }^{ \infty } b_{ n } T ^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {G} \Vert_t
}
{ < }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Komplexe Potenzreihe/t-Norm/Limes/Aufgabe
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige Lemma 10.2 mit Satz 10.7 unter Verwendung der geometrischen Reihe.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ \sum_{k = 0}^\infty a_k T^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine formale Potenzreihe über ${\mathbb C}$ und seien $F_n$ Potenzreihen mit der Eigenschaft, dass die Koeffizienten bis zu $T^n$ von $F_n$ und von $F$ übereinstimmen. Für eine positive reelle Zahl $t$ gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f_n} \Vert_t
}
{ \leq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$. Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert_t
}
{ \leq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ der Ring aller konvergenten Potenzreihen, deren \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} zumindest $1$ ist. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass die analoge Aussage zu Lemma 10.2 in $R$ nicht gilt. }{Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist. }{Zeige, dass $R$ kein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} ist. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des \definitionsverweis {Sinus}{}{} im Punkt $0$ mit dem in Satz 9.19 beschriebenen Potenzreihenansatz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { -3x + x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} {-3+3x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist diese Funktion auf dem offen Intervall
\mathl{]-1,1[}{} streng fallend und damit injektiv
\zusatzklammer {mit dem Bildintervall
\mathl{]-2,2 [}{}} {} {.}
Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ =} {\sum_{k = 0}^\infty b_k y^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(g(f(x))
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Koeffizienten
\mathl{b_0,b_1,b_2,b_3,b_4}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Taylorreihe zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt $1$.
} {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ =} { \sqrt{y}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b_0 + b_1(y-1) +b_2 (y-1)^2 + \ldots
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty b_k (y-1)^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Taylorreihe zu $g$ im Entwicklungspunkt $1$. Bestimme die Koeffizienten
\mathl{b_0,b_1,b_2,b_3,b_4}{} aus der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(f(x) )
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { S +3S^2 -2S^3
}
{ =} { S+S^2 (3-2S)
}
{ =} { S+S^2 H
}
{ \in} { {\mathbb C} [ \![S]\! ]
}
}
{}{}{}
eine formale Potenzreihe mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ = }{ 3-2S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne
\mathkor {} {F_1} {und} {F_2} {}
in der Rekursion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_{n+1}
}
{ = }{ T- F_n^2 \cdot H(F_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_0
}
{ = }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und seien
\maabb {f,g} {U} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {komplex-analytische Funktionen}{}{.}
Es gebe eine Folge $x_n$ in $U$ mit einem
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der von allen $x_n$ verschieden sei. Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x_n)
}
{ = }{ g(x_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{6 (3+3)}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z^2-1 } }}{} die Potenzreihenentwicklung im Entwicklungspunkt $0$ durch
\aufzaehlungzwei {Partialbruchzerlegung und geometrische Reihe.
} {Taylorentwicklung.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{7 (2+1+1+1+2)}
{
Zeige, dass die
$t$-\definitionsverweis {Norm}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Potenzreihen}{}{}
die folgende Eigenschaften erfüllt.
\zusatzklammer {dabei seien $F,G$ Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $0$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungfuenf{Für den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
$R$ von $F$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { \operatorname{sup} ( t , \Vert {F} \Vert_t < \infty )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {F} \Vert_t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {F+G} \Vert_t
}
{ \leq} { \Vert {F} \Vert_t + \Vert {G} \Vert_t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {w F } \Vert_t
}
{ =} { \betrag { w } \cdot \Vert {F} \Vert_t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {F \cdot G} \Vert_t
}
{ \leq} { \Vert {F} \Vert_t \cdot \Vert {G} \Vert_t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass es
\definitionsverweis {formale Potenzreihen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F, G
}
{ \in }{ {\mathbb C} [ \![T]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die beide nicht
\definitionsverweis {konvergent}{}{}
sind, aber so, dass ihr Produkt $FG$ konvergent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } S ^{ j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine konvergente Potenzreihe über ${\mathbb C}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass durch durch die Einsetzung
\mathl{F \mapsto F(G)}{} ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathbb C}\langle \! \langle T \rangle \!\rangle } {{\mathbb C}\langle \! \langle S \rangle \!\rangle
} {}
gegeben ist. Wann ist dieser injektiv? Wann ist dieser surjektiv? Was passiert mit der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
unter dieser Abbildung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} bis zur vierten Ordnung des \definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{} im Entwicklungspunkt $1$ mit dem in Satz 9.19 beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion.
}
{} {}