Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 23

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass für einen Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ und geschlossene stetige Wege ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ in ${}{\mathbb {C} }\setminus \{P\}$ die Gleichheit

${}\operatorname {ind} _{\gamma _{1}\gamma _{2}}(P)=\operatorname {ind} _{\gamma _{1}}(P)+\operatorname {ind} _{\gamma _{2}}(P)\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ und sei ${}\delta (t)=P+e^{2\pi {\mathrm {i} }t}$ die Standardumrundung von ${}P$. Zeige, dass für jeden Punkt ${}Q\in U{\left(P,1\right)}$ die Windungszahl gleich

${}\operatorname {ind} _{\delta }(Q)=1\,$

ist.

Aufgabe

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges (der Weg verlaufe unten rum nach rechts).

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ nullstellenfreie holomorphe Funktionen. Es sei ${}\gamma$ ein geschlossener Weg in ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Zeige

${}\operatorname {ind} _{(fg)\circ \gamma }(0)=\operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0)+\operatorname {ind} _{g\circ \gamma }(0)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie holomorphe Funktion, die wir als Funktion ${}U\rightarrow U$ auffassen. Es sei ${}\delta$ die Standardumrundung um den Nullpunkt und sei ${}\operatorname {ind} _{f\circ \delta }(0)$ die Windungszahl von ${}f\circ \delta$ um den Nullpunkt. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der Fundamentalgruppen

$\pi _{1}(f)\colon \pi _{1}(U)\cong \mathbb {Z} \longrightarrow \pi _{1}(U)\cong \mathbb {Z} ,$

durch ${}n\mapsto n\cdot \operatorname {ind} _{f\circ \delta }(0)$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und sei ${}f(z)=z^{k}$ mit ${}k\in \mathbb {Z}$, aufgefasst als Funktion ${}U\longrightarrow U$, ${}z\longmapsto z^{k}$. Es sei ${}\delta$ die Standardumrundung um den Nullpunkt. Zeige

${}\operatorname {ind} _{f\circ \delta }(0)=k\,.$

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkontante holomorphe Funktion und ${}P\in G$ ein Punkt mit ${}f(P)=Q$. Es sei ${}P\in U$ eine Kreisscheibenumgebung, in der ${}P$ der einzige Urbildpunkt von ${}Q$ ist, und sei ${}\delta$ eine Standardumrundung von ${}P$ innerhalb von ${}U$. Es sei ${}\operatorname {ind} _{f\circ \delta }(Q)$ die Windungszahl von ${}f\circ \delta$ um ${}Q$. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der Fundamentalgruppen

$\pi _{1}(f)\colon \pi _{1}(U\setminus \{P\})\cong \mathbb {Z} \longrightarrow \pi _{1}({\mathbb {C} }\setminus \{Q\})\cong \mathbb {Z} ,$

durch ${}n\mapsto n\cdot \operatorname {ind} _{f\circ \delta }(Q)$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkontante holomorphe Funktion und ${}P\in G$ ein Punkt mit ${}f(P)=Q$. Es sei ${}P\in U$ eine Kreisscheibenumgebung, in der ${}P$ der einzige Urbildpunkt von ${}Q$ ist, und sei ${}\delta$ eine Standardumrundung von ${}P$ innerhalb von ${}U$. Zeige, dass ${}\operatorname {ind} _{f\circ \delta }(Q)$ mit dem lokalen Exponenten von ${}f$ in ${}P$ übereinstimmt.

Aufgabe

Bestimme das Wegintegral ${}\int _{\gamma }$ zur holomorphen Differentialform ${}{\frac {zdz}{(z-1)(z+1)}}$ zum Weg ${}\gamma (t)={\frac {1}{2}}+e^{3\pi {\mathrm {i} }t}$ auf ${}[0,1]$ mit Hilfe des Residuensatzes.

Aufgabe

Bestimme eine holomorphe Funktion ${}f$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{3-{\mathrm {i} },-5+{\mathrm {i} },2-4{\mathrm {i} }\}$ derart, dass das Residuentupel ${}\left(\operatorname {Res} _{3-{\mathrm {i} }}\left(f\right),\,\operatorname {Res} _{-5+{\mathrm {i} }}\left(f\right),\,\operatorname {Res} _{2-4{\mathrm {i} }}\left(f\right)\right)$ gleich ${}(-5\pi ,3+5{\mathrm {i} },-2-e{\mathrm {i} })$ ist.

Aufgabe

Bestimme eine nullstellenfreie holomorphe Funktion ${}f$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{{\mathrm {i} },-2,3+4{\mathrm {i} }\}$ derart, dass das Windungszahltupel ${}\left(\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{1}}(0),\,\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{2}}(0),\,\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{3}}(0)\right)$ gleich ${}(-5,4,-3)$ ist, wobei ${}\delta _{j}$ eine Standardumrundung des ${}j$-ten Punktes ist.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${}P\in U$ ein Punkt und sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Zeige, dass

$\pi _{1}(U,P)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,\gamma \longmapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0),$

ein Gruppenhomomorphismus ist, und dass dieser einen Gruppenhomomorphismus

$\Theta _{f}\colon H_{1}(U,\mathbb {Z} )\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,\gamma \longmapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0),$

definiert.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung

   $\Theta \colon \Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(G,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)},\,f\longmapsto {\left(\gamma \mapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0)\right)},$

   ist ein Gruppenhomomorphismus.

2. Wenn ${}f$ die Form ${}f=\exp h$ mit einer holomorphen Funktion ${}h\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ besitzt, so ist ${}\Theta _{f}=0$.
3. Die Abbildung aus (1) induziert eine Abbildung

   $\Theta \colon \Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }/\Gamma (U,{\mathcal {O}})_{\text{exp}}^{\times }\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(G,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)},\,f\longmapsto {\left(\gamma \mapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0)\right)},$

   wobei ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})_{\text{exp}}^{\times }$ die exponentiellen Einheiten bezeichnet.

4. Die Abbildung aus (3) ist injektiv.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet. Zeige, dass ein Komplex

$0{\stackrel {}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }{\stackrel {}{\longrightarrow }}\Gamma (U,{\mathcal {O}}){\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}\Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }{\stackrel {\Theta }{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)}{\stackrel {}{\longrightarrow }}0$

vorliegt, und zeige, dass dieser exakt ist (das ist an der Homomorphismenstelle schwierig).

Aufgabe

Es seien ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ Gebiete und sei

$\varphi \colon U\longrightarrow V$

eine holomorphe Funktion. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (V,{\mathcal {O}})&{\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}&\Gamma (V,{\mathcal {O}})^{\times }&{\stackrel {\Theta }{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(V,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})&{\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }&{\stackrel {\Theta }{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$

vorliegt. In den Vertikalen steht der Rückzug von Funktionen und hinten die duale Abbildung zur Homologieabbildung.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und ${}U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. Zeige, dass man jede nullstellenfreie holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ in der Form

${}f(z)={\left(\exp \left(h(z)\right)\right)}\cdot (z-P_{1})^{k_{1}}\cdots (z-P_{n})^{k_{n}}\,$

mit einer holomorphen Funktion ${}h$ auf ${}U$ und mit ${}k_{i}\in \mathbb {Z}$ schreiben kann.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet. Zeige, dass ein Komplex

$0{\stackrel {}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }{\stackrel {}{\longrightarrow }}\Gamma (U,{\mathcal {O}}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Gamma (U,\Omega ){\stackrel {\text{Ev}}{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}{\stackrel {}{\longrightarrow }}0$

vorliegt, und zeige, dass dieser exakt ist (das ist an der Homomorphismenstelle schwierig), wobei die Evaluationsabbildung eine holomorphe Differentialform ${}\omega$ auf die Abbildung ${}\gamma \mapsto \int _{\gamma }\omega$ abbildet.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und ${}U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\Gamma (U,\Omega )&{\stackrel {\text{Ev}}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}&\\&\!\!\!\!\!\operatorname {Res} _{P_{i}}\left(-\right)\searrow &\downarrow \rho \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }^{n}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vorliegt, wobei ${}\rho$ einen Homomorphismus ${}\varphi \colon H_{1}(U,\mathbb {Z} )\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf das Tupel ${}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\left(\varphi (\gamma _{1}),\,\ldots ,\,\varphi (\gamma _{n})\right)$ abbildet, wobei ${}\gamma _{i}$ eine Standardumrundung von ${}P_{i}$ mit hinreichend kleinem Radius ist.

Aufgabe

Es seien ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ Gebiete und sei

$\varphi \colon U\longrightarrow V$

eine holomorphe Funktion. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (V,{\mathcal {O}})&{\stackrel {d}{\longrightarrow }}&\Gamma (V,\Omega )&{\stackrel {\text{Ev}}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(V,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \varphi ^{*}\!\!\!\!\!&&\downarrow &&\downarrow \\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})&{\stackrel {d}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,\Omega )&{\stackrel {\text{Ev}}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$

vorliegt. In den Vertikalen steht der Rückzug von Funktionen und von Differentialformen und hinten die duale Abbildung zur Homologieabbildung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Wegintegral ${}\int _{\gamma }$ zur holomorphen Differentialform ${}{\frac {dz}{z(z-1)(z+1)}}$ zum Weg ${}\gamma (t)=3e^{2\pi {\mathrm {i} }t}$ auf ${}[0,1]$ mit Hilfe des Residuensatzes.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine nullstellenfreie holomorphe Funktion ${}f$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{2-{\mathrm {i} },5,3+4{\mathrm {i} },2{\mathrm {i} }\}$ derart, dass das Windungszahltupel ${}\left(\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{1}}(0),\,\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{2}}(0),\,\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{3}}(0),\,\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{4}}(0)\right)$ gleich ${}(2,0,-4,3)$ ist, wobei ${}\delta _{j}$ eine Standardumrundung des ${}j$-ten Punktes ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und ${}U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. es bezeichne ${}H(U,\Omega )$ den Vektorraum aller holomorphen Differentialformen auf ${}U$ und ${}H(U,\Omega )_{\text{exakt}}$ den Untervektorraum der exakten Differentialformen. Zeige, dass die Abbildung (vergleiche Lemma 22.11 und Aufgabe 22.17)

$\Psi \colon H(U,\Omega )/H(U,\Omega )_{\text{exakt}}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)},$

bijektiv ist. Verwende dabei, dass die Homologiegruppe gleich ${}\mathbb {Z} ^{n}$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass Korollar 23.10 und Korollar 23.11 auf ${}G={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ nicht gelten.