Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 23

Die Windungszahl

Die Windungszahl beschreibt, wie oft sich eine geschlossene Kurve um einen Punkt herumwindet. Wir geben eine analytische Definition über ein Wegintegral.

Definition

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ und sei

\gamma \colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\}

ein stetiger, geschlossener stückweise stetig differenzierbarer Weg. Dann nennt man

{}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-P}}\,

die Windungszahl von ${}\gamma$ um ${}P$ .

Statt Windungszahl sagt man auch Umlaufzahl oder Index, sie misst einfach, wie oft sich der Weg um den gegebenen Punkt windet. Diese Definition ist etwas unbefriedigend, da sie ein, auch für stetige geschlossene Kurven, intuitiv naheliegendes Konzept über ein Integral entwickelt. Das folgende Lemma gibt eine topologische Charakterisierung, so dass man auch von der Windungszahl eines stetigen Weges sprechen kann.

Lemma

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ und sei

\gamma \colon [a,b]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\}

ein stetiger, geschlossener stückweise stetig differenzierbarer Weg. Dann erfüllt die Windungszahl folgende Eigenschaften.

Homotope Wege (innerhalb von ${}{\mathbb {C} }\setminus \{P\}$ ) haben die gleiche Windungszahl.

Wenn
$\Psi \colon \pi _{1}({\mathbb {C} }\setminus \{P\})\longrightarrow \mathbb {Z}$

ein Gruppenisomorphismus der Fundamentalgruppe mit ${}\mathbb {Z}$ ist, bei dem die Standardumrundung

$[0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,t\longmapsto P+e^{{\mathrm {i} }t},$

auf ${}1$ abgebildet wird, dann ist

${}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)=\Psi ([\gamma ])\,.$

Insbesondere ist die Windungszahl ganzzahlig.

Es sei ${}{\tilde {\gamma }}$ eine Liftung von ${}\gamma$ zur (verschobenen) Exponentialfunktion
${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,z\longmapsto P+\exp z.$

Dann ist

${}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left({\tilde {\gamma }}(b)-{\tilde {\gamma }}(a)\right)}\,.$

Beweis

folgt aus Satz 22.3.
Die Windungszahl der angegebenen Umrundung ist gleich ${}1$ . Deshalb und wegen (1) muss der Windungszahlhomomorphismus mit der Abbildung aus (2) übereinstimmen.
Sei ${}P=0$ . Der Weg
$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,t\longmapsto e^{t{\mathrm {i} }},$

besitzt die Liftung

${\tilde {\gamma }}\colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t{\mathrm {i} }.$

Daher ist der Ausdruck in (3) für diesen Weg gleich ${}1$ . Diese Aussage folgt, da der Ausdruck in (3) nach Satz 21.13 homotopieinvariant und einen Gruppenhomomorphismus definiert.

\Box

Lemma

Zu einer meromorphen Funktion

h\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }

auf einer offenen Menge ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ mit ${}h(a)=h(b)$ und einem stetigen Weg

\gamma \colon [0,1]\longrightarrow G

mit ${}\gamma (0)=a$ und ${}\gamma (1)=b$ , wobei ${}h$ auf ${}\gamma ([0,1])$ weder Null- noch Polstellen habe, ist

${}\int _{h\circ \gamma }{\frac {1}{w}}dw=\int _{\gamma }{\frac {h'(z)}{h(z)}}dz\,$

das ${}2\pi {\mathrm {i} }$ -fache der Windungszahl von ${}h\circ \gamma$ um den Nullpunkt.

Beweis

Wir können annehmen, dass ${}h$ auf einer offenen Umgebung von ${}\gamma ([0,1])$ weder eine Nullstelle noch einen Pol besitzt. Nach Lemma 12.8 und Aufgabe 11.24 ist

{}\int _{h\circ \gamma }{\frac {1}{w}}dw=\int _{\gamma }h^{*}\left({\frac {dw}{w}}\right)=\int _{\gamma }{\frac {h'(z)}{h(z)}}dz\,,

der linke Ausdruck ist nach Definition das ${}2\pi {\mathrm {i} }$ -fache der Windungszahl von ${}h\circ \gamma$ .

\Box

Lemma

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ und sei ${}\delta (t)=P+e^{2\pi {\mathrm {i} }t}$ die Standardumrundung von ${}P$ .

Dann ist für jeden Punkt ${}Q\in U{\left(P,1\right)}$ die Windungszahl gleich

${}\operatorname {ind} _{\delta }(Q)=1\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 23.2.

\Box

Lemma

Es sei ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow {\mathbb {C} }$ ein geschlossener stetiger Weg und es sei ${}U={\mathbb {C} }\setminus \gamma ([0,1])$ .

Dann ist die Windungszahl

$U\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,P\longmapsto \operatorname {ind} _{\gamma }(P),$

stetig und somit lokal konstant.

Beweis

Es ist ${}\gamma ([0,1])$ kompakt nach Lemma 17.6 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) und daher abgeschlossen nach Lemma 17.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)), somit ist ${}U$ offen. Es sei ${}P\in U$ . Wir zeigen

{}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)=\operatorname {ind} _{\gamma }(Q)\,

für alle Punkte ${}Q\in V$ aus einer offenen Umgebung ${}V$ von ${}P$ . In ${}{\mathbb {C} }\setminus \{P\}$ ist ${}\gamma$ nach Satz 21.15 homotop zu einem mehrfach durchlaufenen Standardweg ${}\delta$ um ${}P$ und nach Lemma 23.2 (1) zählt die Windungszahl die Anzahl der Umläufe (mit Orientierung). Es sei

H\colon [0,1]\times [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\}

eine Homotopie zwischen ${}\gamma$ und ${}\delta$ . Da ${}H$ stetig und ${}[0,1]\times [0,1]$ kompakt ist, ist auch

{}H([0,1]\times [0,1])\subseteq {\mathbb {C} }\setminus \{P\}\,

kompakt und damit (in ${\mathbb {C} }\setminus \{P\}$ und auch) in ${}{\mathbb {C} }$ abgeschlossen. Es sei ${}V={\mathbb {C} }\setminus H([0,1]\times [0,1])$ , diese offene Menge ist insbesondere disjunkt zu ${}\gamma ([0,1])$ . Für ${}Q\in V$ kann man ${}H$ auch als eine Homotopie zwischen ${}\gamma$ und ${}\delta$ innerhalb von ${}{\mathbb {C} }\setminus \{Q\}$ auffassen. Damit ist unter Verwendung von Lemma 23.4

{}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)=\operatorname {ind} _{\delta }(P)=\operatorname {ind} _{\delta }(Q)=\operatorname {ind} _{\gamma }(Q)\,.

\Box

Bemerkung

Es sei

\gamma \colon [a,b]\longrightarrow {\mathbb {C} }

ein geschlossener stetiger und bis auf Überkreuzungen injektiver Weg. Nach Lemma 23.5 ist die Windungszahl auf den zusammenhängenden Teilmengen von ${}{\mathbb {C} }\setminus \gamma ([a,b])$ konstant. Diese Windungszahlen kann man folgendermaßen bestimmen. Außerhalb des Weggeschehens (was man als die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von ${\mathbb {C} }\setminus \gamma ([a,b])$ definieren kann) ist die Windungszahl gleich ${}0$ . Wenn man von außen nach innen hineinwandert, so muss man bei jeder Überquerung von ${}\gamma ([a,b])$ (kein Überkreuzungspunkt) die Windungszahl um ${}1$ erhöhen, wenn bei der Überquerung (gesehen von der Überquerungsrichtung) der Weg von links nach rechts verläuft, und um ${}1$ vermindern, wenn der Weg von rechts nach links verläuft. Die Richtigkeit dieses Prinzips kann man sich folgendermaßen klar machen. Es seien ${}P$ und ${}Q$ Punkte, die in benachbarten Zusammenhangskomponenten liegen und wobei der direkte lineare Weg von ${}P$ nach ${}Q$ den Weg, der von links nach rechts verlaufe, einfach im Punkt ${}S$ überquert. Wir betrachten den abgeänderten Weg ${}{\tilde {\gamma }}$ , der vor dem Durchstoßungspunkt ${}\gamma$ im Punkt ${}C$ verlässt und einen „Halbbogen“ ${}\delta$ macht, der ${}Q$ miteinschließt und hinter dem Durchstoßungspunkt wieder im Punkt ${}D$ auf ${}\gamma$ einbiegt. Es liegen dann ${}Q$ und ${}P$ in der gleichen Zusammenhangskomponente von ${}{\tilde {\gamma }}$ und ihre Windungszahl stimmt überein. Wir schreiben ${}\gamma$ als Aneinanderlegung

{}\gamma =\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}\,,

wobei ${}\gamma _{2}$ den Weg von ${}C$ nach ${}D$ beschreibt. Es ist dann der Weg ${}\gamma _{2}(-\delta )$ ein einfacher Umlauf von ${}Q$ mit Windungszahl ${}1$ . Daher ist

{}{\begin{aligned}\operatorname {ind} _{\gamma }(Q)&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-Q}}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(\int _{\gamma _{1}}{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\gamma _{2}}{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\gamma _{3}}{\frac {dz}{z-Q}}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(\int _{\gamma _{1}}{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\gamma _{2}(-\delta )}{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\delta }{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\gamma _{3}}{\frac {dz}{z-Q}}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\tilde {\gamma }}{\frac {dz}{z-Q}}+1\\&=\operatorname {ind} _{\tilde {\gamma }}(Q)+1\\&=\operatorname {ind} _{\tilde {\gamma }}(P)+1\\&=\operatorname {ind} _{\gamma }(P)+1.\end{aligned}}

Der Residuensatz

Der folgende Satz heißt Residuensatz, mit ihm kann man Wegintegrale in einem einfach zusammenhängenden Gebiet zu einer Differentialform, die außerhalb von endlich vielen Punkten holomorph ist, allein durch die (rein topologisch gegebene) Windungszahlen in den Ausnahmepunkten und den dortigen Residuen bestimmen.

Satz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, ${}D\subseteq G$ eine endliche Teilmenge,

\gamma \colon I\longrightarrow G\setminus D

ein geschlossener stetiger Weg und sei

f\colon G\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }

eine holomorphe Funktion.

Dann ist

${}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz=\sum _{P}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)\,,$

wobei über alle Punkte ${}P\in D$ summiert wird.

Beweis

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ die Punkte von ${}D$ . In jedem Punkt ${}P_{i}$ betrachten wir die Laurent-Entwicklung von ${}f$ und schreiben

{}f=h_{i}+g_{i}\,

mit dem Hauptteil ${}h_{i}$ und dem Nebenteil ${}g_{i}$ . Die Hauptteile selbst schreiben wir wiederum als

{}h_{i}={\frac {r_{i}}{z-P_{i}}}+{\tilde {h}}_{i}\,,

wobei ${}r_{i}$ das Residuum von ${}f$ in ${}P_{i}$ ist und ${}{\tilde {h}}_{i}$ die anderen Summanden zusammenfasst. Aufgrund von Lemma 16.14 (1) sind die Hauptteile ${}h_{i}$ auf ganz ${}G\setminus \{P_{i}\}$ (und auch auf ${\mathbb {C} }\setminus \{P_{i}\}$ ) konvergent. Es ist ${}f-h_{1}-\cdots -h_{n}$ holomorph auf ${}G$ , daher ist

{}\int _{\gamma }f(z)-h_{1}(z)-\cdots -h_{n}(z)dz=0\,

nach Korollar 22.5. Ferner ist

{}\int _{\gamma }{\tilde {h}}_{i}(z)dz=0\,

nach Korollar 12.12, da die ${}{\tilde {h}}_{i}$ nach Lemma 16.14 (2) eine Stammfunktion auf ${}G\setminus \{P\}$ besitzen. Somit ist

{}{\begin{aligned}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }h_{1}(z)dz+\cdots +{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }h_{n}(z)dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {r_{1}}{z-P_{1}}}dz+\cdots +{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {r_{n}}{z-P_{n}}}dz\\&=r_{1}\operatorname {ind} _{\gamma }(P_{1})+\cdots +r_{n}\operatorname {ind} _{\gamma }(P_{n}).\end{aligned}}

\Box

Der Satz gilt auch, wenn ${}D$ eine diskrete Teilmenge ist, da dann innerhalb des Weges auch nur endlich viele Ausnahmepunkte liegen und die Windungszahlen in den Punkten außerhalb gleich ${}0$ sind.

Satz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und ${}U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$ .

Dann ist der Komplex

$0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Gamma (U,\Omega ){\stackrel {\operatorname {Res} _{P_{i}}\left(-\right)}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow 0$

von komplexen Vektorräumen exakt. Insbesondere ist der Restklassenraum der holomorphen Differentialformen modulo der exakten Differentialformen isomorph zu ${}{\mathbb {C} }^{n}$ .

Beweis

Die Abbildungen sind nach Lemma 11.2 (4) und Lemma 19.3 (4) ${}{\mathbb {C} }$ - linear. Da ${}U$ selbst ein Gebiet ist, stimmen die konstanten Funktionen mit den Funktionen überein, deren Ableitung gleich ${}0$ ist. Deshalb ist der Komplex in ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ exakt. Die Surjektivität hinten ist klar, da die auf ${}U$ holomorphe Differentialform ${}{\frac {a_{1}dz}{z-P_{1}}}+\cdots +{\frac {a_{n}dz}{z-P_{n}}}$ auf das Residuentupel ${}\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$ abbildet.

Es sei eine holomorphe Funktion ${}f$ auf ${}U$ gegeben, und es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P_{i})^{n}$ die Laurent-Reihe von ${}f$ in ${}P_{i}$ . Die zugehörige Differentialform

{}df=f'dz\,

besitzt dann in ${}P_{i}$ eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Residuum. Es sei nun umgekehrt ${}\omega =hdz$ eine holomorphe Differentialform auf ${}U$ , deren Residuen in den Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ gleich ${}0$ seien. Nach dem Residuensatz ist das Wegintegral zu ${}\omega$ in ${}U$ für jeden geschlossenen Weg ${}\gamma$ gleich ${}0$ . Nach Satz 12.16 ist daher die holomorphe Differentialform ${}\omega$ exakt.

\Box

Satz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und ${}U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$ .

Dann liegt ein kommtatives Diagramm

${\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})&{\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }&{\stackrel {\operatorname {ind} _{-\circ \delta _{i}}(P_{i})}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow =\!\!\!\!\!&&\downarrow dlog\!\!\!\!\!&&\downarrow &&\downarrow \\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})&{\stackrel {d}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,\Omega )&{\stackrel {\operatorname {Res} _{P_{i}}\left(-\right)}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$

von kommutativen Gruppen mit exakten Zeilen vor. Bei der letzten horizontalen Abbildung oben wird eine holomorphe Einheit ${}f$ auf das Windungszahltupel ${}\left(\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{1}}(0),\,\ldots ,\,\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{n}}(0)\right)$ abgebildet, wobei ${}\delta _{i}$ eine Standardumrundung von ${}P_{i}$ innerhalb von ${}U$ bezeichnet.

Beweis

Die Abbildungen sind wohldefiniert, da nach Lemma 23.2 (2) die Windungszahltupel stets ganzzahlig sind. Die Kommutativität des dritten Quadrats ergibt sich aus Aufgabe 19.11, die Kommutativität des vierten Quadrats folgt aus Lemma 23.3 in Verbindung mit Lemma 19.2, angewendet auf jeden einzelnen Punkt ${}P_{i}$ . Die Exaktheit der zweiten Zeile ist Satz 23.8. Die Exaktheit der ersten Zeile in ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ ist eine Umformulierung von Satz 21.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (2). Zum Nachweis der Exaktheit in ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }$ sei zunächst ${}f=\exp h$ mit ${}h$ holomorph auf ${}U$ . Nach Aufgabe 19.11 ist die logarithmische Ableitung von ${}\exp h$ gleich ${}h'$ und deren Residuen sind gleich ${}0$ , was sich auf die Windungszahlen überträgt. Es sei nun ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }$ derart, dass die Windungszahlen, also die Residuen der logarithmischen Ableitung ${}{\frac {f'}{f}}$ , gleich ${}0$ sind. Es ist zu zeigen, dass es eine holomorphe Funktion ${}h$ auf ${}U$ gibt mit ${}f=\exp h$ . Wegen der Residueneigenschaft und der Exaktheit der zweiten Zeile gibt es eine holomorphe Funktion ${}h$ mit

{}h'={\frac {f'}{f}}\,.

Es haben dann ${}f$ und ${}\exp h$ die gleiche logarithmische Ableitung. Durch Addition einer Konstanten zu ${}h$ können wir ferner davon ausgehen, dass ${}f$ und ${}\exp h$ in einem bestimmten Punkt ${}Q\in U$ den gleichen Wert besitzen. Dann ist ${}{\frac {\exp h}{f}}$ eine Funktion, deren logarithmische Ableitung gleich ${}0$ ist. Dann ist nach Aufgabe 19.12 auch die Ableitung von ${}{\frac {\exp h}{f}}$ gleich ${}0$ und wegen der Übereinstimmung in einem Punkt folgt

{}{\frac {\exp h}{f}}=1\,,

also ${}f=\exp h$ . Die logarithmische Ableitung von ${}(z-P_{1})^{k_{1}}\cdots (z-P_{n})^{k_{n}}$ ist ${}{\frac {k_{1}}{z-P_{1}}}+\cdots +{\frac {k_{n}}{z-P_{n}}}$ und die zugehörigen Residuen sind ${}k_{1},\ldots ,k_{n}$ , deshalb ist die letzte Abbildung oben auch surjektiv.

\Box

Korollar

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und es sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie holomorphe Funktion.

Dann gibt es eine holomorphe Funktion ${}h\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}f=\exp h$ .

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Satz 23.9.

\Box

Die folgende Aussage ist eine wesentliche Verschärfung und Präzisierung der lokalen Aussage Satz 5.10.

Korollar

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und es sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ .