Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {geschlossene}{}{}
\definitionsverweis {stetige Wege}{}{}
\mathkor {} {\gamma_1} {und} {\gamma_2} {}
in
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{P\}}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ind}_{ \gamma_1 \gamma_2 } ( P )
}
{ =} { \operatorname{ind}_{ \gamma_1 } ( P ) + \operatorname{ind}_{ \gamma_2 } ( P )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(t)
}
{ = }{ P+e^{ 2 \pi { \mathrm i} t }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Standardumrundung}{}{}
von $P$. Zeige, dass für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ U { \left( P,1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Windungszahl}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ind}_{ \delta } ( Q )
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {WindingnumberFree.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { WindingnumberFree.svg } {} {Ico83} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Bestimme die \definitionsverweis {Windungszahl}{}{} auf den Teilgebieten des gezeigten Weges \zusatzklammer {der Weg verlaufe unten rum nach rechts} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und seien
\maabb {f,g} {G} { {\mathbb C}
} {}
nullstellenfreie
\definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{.}
Es sei $\gamma$ ein
\definitionsverweis {geschlossener Weg}{}{}
in
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{0\}}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ind}_{ (fg) \circ \gamma } ( 0 )
}
{ =} { \operatorname{ind}_{ f \circ \gamma } ( 0 ) + \operatorname{ind}_{ g \circ \gamma } ( 0 )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine nullstellenfreie
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{,}
die wir als Funktion
\maabb {} {U} {U
} {}
auffassen. Es sei $\delta$ die
\definitionsverweis {Standardumrundung}{}{}
um den Nullpunkt und sei
\mathl{\operatorname{ind}_{ f \circ \delta } ( 0 )}{} die
\definitionsverweis {Windungszahl}{}{}
von
\mathl{f \circ \delta}{} um den Nullpunkt. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der
\definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{}
\maabbdisp {\pi_1(f)} { \pi_1(U) \cong \Z } { \pi_1(U) \cong \Z
} {,}
durch $n \mapsto n \cdot \operatorname{ind}_{ f \circ \delta } ( 0 )$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ = }{ z^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
aufgefasst als Funktion
\maabbele {} {U} {U
} {z} {z^k
} {.}
Es sei $\delta$ die
\definitionsverweis {Standardumrundung}{}{}
um den Nullpunkt. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ind}_{ f \circ \delta } ( 0 )
}
{ =} { k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{,}
\maabb {f} {G} { {\mathbb C}
} {}
eine nichtkontante
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ = }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Kreisscheibenumgebung, in der $P$ der einzige Urbildpunkt von $Q$ ist, und sei $\delta$ eine
\definitionsverweis {Standardumrundung}{}{}
von $P$ innerhalb von $U$. Es sei
\mathl{\operatorname{ind}_{ f \circ \delta } ( Q )}{} die
\definitionsverweis {Windungszahl}{}{}
von
\mathl{f \circ \delta}{} um $Q$. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der
\definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{}
\maabbdisp {\pi_1(f)} { \pi_1( U \setminus \{P\} ) \cong \Z } { \pi_1( {\mathbb C} \setminus \{Q\} ) \cong \Z
} {,}
durch $n \mapsto n \cdot \operatorname{ind}_{ f \circ \delta } ( Q )$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{,}
\maabb {f} {G} { {\mathbb C}
} {}
eine nichtkontante
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ = }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Kreisscheibenumgebung, in der $P$ der einzige Urbildpunkt von $Q$ ist, und sei $\delta$ eine
\definitionsverweis {Standardumrundung}{}{}
von $P$ innerhalb von $U$. Zeige, dass
\mathl{\operatorname{ind}_{ f \circ \delta } ( Q )}{} mit dem
\definitionsverweis {lokalen Exponenten}{}{}
von $f$ in $P$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
$\int_\gamma$ zur
\definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mathl{{ \frac{ z dz }{ (z-1)(z+1) } }}{} zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } + e^{3 \pi { \mathrm i} t}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{[0,1]}{} mit Hilfe
des Residuensatzes.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
$f$ auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{ 3-{ \mathrm i}, -5+ { \mathrm i}, 2-4 { \mathrm i} \}}{} derart, dass das Residuentupel
\mathl{\left( \operatorname{Res}_{ 3-{ \mathrm i} } \left( f \right) , \, \operatorname{Res}_{ -5+ { \mathrm i} } \left( f \right) , \, \operatorname{Res}_{ 2-4{ \mathrm i} } \left( f \right) \right)}{} gleich
\mathl{(-5\pi, 3+5{ \mathrm i} ,-2-e { \mathrm i})}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine nullstellenfreie
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
$f$ auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{ { \mathrm i}, -2, 3+4 { \mathrm i} \}}{} derart, dass das Windungszahltupel
\mathl{\left( \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_1 } ( 0 ) , \, \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_2 } ( 0 ) , \, \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_3 } ( 0 ) \right)}{} gleich
\mathl{(-5,4,-3)}{} ist, wobei
\mathl{\delta_j}{} eine
\definitionsverweis {Standardumrundung}{}{}
des $j$-ten Punktes ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine nullstellenfreie
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass
\maabbeledisp {} { \pi_1(U,P) } { \Z
} {\gamma} { \operatorname{ind}_{ f \circ \gamma } ( 0 )
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist, und dass dieser einen Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {\Theta_f} { H_1(U, \Z) } { \Z
} {\gamma} { \operatorname{ind}_{ f \circ \gamma } ( 0 )
} {,}
definiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Die Abbildung
\maabbeledisp {\Theta} { \Gamma (U, {\mathcal O} ) ^{\times} } { \operatorname{Hom} { \left( H_1(G,\Z), \Z \right) }
} {f} { { \left( \gamma \mapsto \operatorname{ind}_{ f \circ \gamma } ( 0 ) \right) }
} {,}
ist ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
}{Wenn $f$ die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ \exp h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer holomorphen Funktion
\maabb {h} {U} { {\mathbb C}
} {}
besitzt, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Theta_f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Abbildung aus (1) induziert eine Abbildung
\maabbeledisp {\Theta} { \Gamma (U, {\mathcal O} ) ^{\times}/ \Gamma (U, {\mathcal O} ) ^{\times}_\text{exp} } { \operatorname{Hom} { \left( H_1(G,\Z), \Z \right) }
} {f} { { \left( \gamma \mapsto \operatorname{ind}_{ f \circ \gamma } ( 0 ) \right) }
} {,}
wobei
\mathl{\Gamma (U, {\mathcal O} ) ^{\times}_\text{exp}}{} die exponentiellen Einheiten bezeichnet.
}{Die Abbildung aus (3) ist injektiv.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{.}
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Komplex}{}{}
\mathdisp {0 \stackrel{}{\longrightarrow} \Z 2 \pi { \mathrm i} \stackrel{}{\longrightarrow} \Gamma (U, {\mathcal O} ) \stackrel{\exp \left( - \right)}{\longrightarrow} \Gamma (U, {\mathcal O} )^{\times} \stackrel{\Theta}{\longrightarrow} \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), \Z \right) } \stackrel{}{\longrightarrow} 0} { }
vorliegt, und zeige, dass dieser exakt ist \zusatzklammer {das ist an der Homomorphismenstelle schwierig} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Gebiete}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {U} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Z 2 \pi { \mathrm i} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma (V, {\mathcal O} ) & \stackrel{ \exp \left( - \right) }{\longrightarrow} & \Gamma (V, {\mathcal O} )^{\times} & \stackrel{ \Theta }{\longrightarrow} & \operatorname{Hom} { \left( H_1(V,\Z), \Z \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Z 2 \pi { \mathrm i} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma (U, {\mathcal O} ) & \stackrel{ \exp \left( - \right) }{\longrightarrow} & \Gamma (U, {\mathcal O} )^{\times} & \stackrel{ \Theta }{\longrightarrow} & \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), \Z \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 &\!\!\!\!\! \end{matrix}} { }
vorliegt. In den Vertikalen steht der Rückzug von Funktionen und hinten die duale Abbildung zur Homologieabbildung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {einfach zusammenhängendes}{}{}
\definitionsverweis {Gebiet}{}{,}
es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ G \setminus \{P_1 , \ldots , P_n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man jede nullstellenfreie
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f (z)
}
{ =} { { \left( \exp \left( h(z) \right) \right) } \cdot (z-P_1)^{k_1} \cdots (z-P_n)^{k_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer holomorphen Funktion $h$ auf $U$ und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k_i
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{.}
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Komplex}{}{}
\mathdisp {0 \stackrel{}{\longrightarrow} {\mathbb C} \stackrel{}{\longrightarrow} \Gamma (U, {\mathcal O} ) \stackrel{d}{\longrightarrow} \Gamma (U, \Omega ) \stackrel{\text{Ev}}{\longrightarrow} \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), {\mathbb C} \right) } \stackrel{}{\longrightarrow} 0} { }
vorliegt, und zeige, dass dieser exakt ist \zusatzklammer {das ist an der Homomorphismenstelle schwierig} {} {}, wobei die Evaluationsabbildung eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
$\omega$ auf die Abbildung
\mathl{\gamma \mapsto \int_\gamma \omega}{} abbildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {einfach zusammenhängendes}{}{}
\definitionsverweis {Gebiet}{}{,}
es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ G \setminus \{P_1 , \ldots , P_n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}\Gamma (U, \Omega ) & \stackrel{ \text{Ev} }{\longrightarrow} & \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), {\mathbb C} \right) } & \\ & \!\!\! \!\! \operatorname{Res}_{ P_i } \left( - \right) \searrow & \downarrow \rho \!\!\! \!\! & \\ & & {\mathbb C}^n & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vorliegt, wobei $\rho$ einen Homomorphismus
\maabb {\varphi} {H_1(U,\Z) } { {\mathbb C}
} {}
auf das Tupel
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \left( \varphi(\gamma_1) , \, \ldots , \, \varphi(\gamma_n) \right)}{}
abbildet, wobei $\gamma_i$ eine
\definitionsverweis {Standardumrundung}{}{}
von $P_i$ mit hinreichend kleinem Radius ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Gebiete}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {U} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & {\mathbb C} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma (V, {\mathcal O} ) & \stackrel{ d }{\longrightarrow} & \Gamma (V, \Omega ) & \stackrel{ \text{Ev} }{\longrightarrow} & \operatorname{Hom} { \left( H_1(V,\Z), {\mathbb C} \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \varphi^* \!\!\!\!\! & & \downarrow & & \downarrow \\ 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & {\mathbb C} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma (U, {\mathcal O} ) & \stackrel{ d }{\longrightarrow} & \Gamma (U, \Omega ) & \stackrel{ \text{Ev} }{\longrightarrow} & \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), {\mathbb C} \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 &\!\!\!\!\! \end{matrix}} { }
vorliegt. In den Vertikalen steht der Rückzug von Funktionen und von Differentialformen und hinten die duale Abbildung zur Homologieabbildung.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Winding curve.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Winding curve.svg } {} {Lorelami} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Bestimme die \definitionsverweis {Windungszahl}{}{} auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
$\int_\gamma$ zur
\definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mathl{{ \frac{ dz }{ z(z-1)(z+1) } }}{} zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t)
}
{ = }{ 3 e^{2 \pi { \mathrm i} t}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{[0,1]}{} mit Hilfe
des Residuensatzes.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme eine nullstellenfreie
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
$f$ auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{ 2- { \mathrm i}, 5, 3+4 { \mathrm i} ,2 { \mathrm i} \}}{} derart, dass das Windungszahltupel
\mathl{\left( \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_1 } ( 0 ) , \, \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_2 } ( 0 ) , \, \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_3 } ( 0 ) , \, \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_4 } ( 0 ) \right)}{} gleich
\mathl{(2,0,-4,3)}{} ist, wobei
\mathl{\delta_j}{} eine
\definitionsverweis {Standardumrundung}{}{}
des $j$-ten Punktes ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {einfach zusammenhängendes}{}{}
\definitionsverweis {Gebiet}{}{,}
es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ G \setminus \{P_1 , \ldots , P_n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
es bezeichne
\mathl{H(U,\Omega)}{} den Vektorraum aller
\definitionsverweis {holomorphen Differentialformen}{}{}
auf $U$ und
\mathl{H(U,\Omega)_{\text{exakt} }}{} den Untervektorraum der
\definitionsverweis {exakten}{}{}
Differentialformen. Zeige, dass die Abbildung
\zusatzklammer {vergleiche
Lemma 22.11
und
Aufgabe 22.17} {} {}
\maabbdisp {\Psi} {H(U,\Omega)/H(U,\Omega)_{\text{exakt} } } { \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), {\mathbb C} \right) }
} {,}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist. Verwende dabei, dass die Homologiegruppe gleich $\Z^n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass
Korollar 23.10
und
Korollar 23.11
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht gelten.
}
{} {}