Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 25/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein komplexes Polynom vom Grad . Zeige, dass jeder Wert mit der Gesamtvielfachheit angenommen wird.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und sei die -te komplexe Potenzierung. Es sei ein komplexes Polynom vom Grad mit
Zeige, dass die Gesamtvielfachheit der Nullstellen von innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe gleich ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte die Folge der holomorphen Funktionen
Wie verhalten sich die Anzahlen der Nullstellen und die Gesamtnullstellenordnung der Funktionen und die der Grenzfunktion der Folge?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte die Folge der holomorphen Funktionen
Wie verhalten sich die Anzahlen der Nullstellen (bzw. die Gesamtnullstellenordnung) der Funktionen und die Nullstellenanzahl der Grenzfunktion der Folge?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Grenzfunktion einer kompakt konvergenten Folge von injektiven holomorphen Funktionen auf einem Gebiet konstant sein kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Skizziere eine „möglichst verrückte“ einfach zusammenhängende offene Teilmenge von .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit . Zeige, dass es eine Potenzreihe mit Konvergenzradius gibt, derart, dass die zugehörige Funktion
biholomorph ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Automorphismengruppe einer jeden einfach zusammenhängenden offenen Teilmenge mit stets die gleiche Gruppe ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge mit der Eigenschaft, dass jede nullstellenfreie holomorphe Funktion auf eine Quadratwurzel besitzt. Zeige, dass einfach zusammenhängend ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass es abgeschlossene einfach zusammenhängende Teilmengen gibt, die nicht zur abgeschlossenen Kreisscheibe homöomorph sind.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für eine offene einfach zusammenhängende Teilmenge derart, dass der Abschluss nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit und sei ein Punkt. Zeige, dass es eine eindeutige biholomorphe Abbildung
derart gibt, dass und reell und positiv ist.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Beschreibe explizit eine surjektive holomorphe Funktion
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine offene einfach zusammenhängende Teilmenge derart, dass es eine biholomorphe Abbildung
derart gibt, dass zu einer stetigen Abbildung auf den Abschluss ausgedehnt werden kann, die eine Homöomorphie zwischen dem Rand von und dem Rand der Einheitskreisscheibe induziert. Zeige, dass diese Eigenschaft dann für jede biholomorphe Abbildung
gilt.