Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.}
Zeige, dass es eine
$\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} { \R^n} { \R^n
} {}
gibt, die einen
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\Gamma_1} { \Gamma_2
} {}
induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{\Gamma_1, \Gamma_2 \subseteq \R^n}{} rationale
\definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.}
Zeige, dass es eine
$\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} { \Q^n} { \Q^n
} {}
gibt, die einen
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\Gamma_1} { \Gamma_2
} {}
induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \langle r+s { \mathrm i} , t+u { \mathrm i} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s,t,u
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ru-st
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\Gamma$ das Standardgitter
\mathl{\langle 1, { \mathrm i} \rangle}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Untergruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z + \Z \cdot \sqrt{3}
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {dicht}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\R
}
{ =} { { \left\{ z \in \R[ { \mathrm i} ] \cong {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{\R/\Z}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Charakterisiere die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
eines
\definitionsverweis {Gitters}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Zu einem durch
\definitionsverweis {linear unabhängige}{}{}
Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} gegebenen
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
bezeichnet man die
\definitionsverweis {konvexe Hülle}{}{}
der Vektoren
\mathl{\epsilon_1 v_1 + \cdots + \epsilon_n v_n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon_i
}
{ \in }{ \{0,1\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als die \definitionswort {Grundmasche}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Fundamentalmasche}{}} {} {}
des Gitters.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter
}{}{}
und sei $u,v$ ein Erzeugendensystem von $\Gamma$. Zeige, dass der Flächeninhalt zur
\definitionsverweis {Grundmasche}{}{}
zu diesen Erzeugern nur vom Gitter abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ = }{ \Z u + \Z v
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter
}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma'
}
{ = }{ \langle au +bv, cu+dv \rangle
}
{ \subseteq }{ \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untergitter}{}{.}
Zeige, dass die Anzahl von
\mathl{\Gamma/\Gamma'}{} gleich dem Betrag der
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
von
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige direkt, dass
\mathdisp {{ \left\{ s \in {\mathbb C} \mid s \Gamma \subseteq \Gamma \right\} }} { }
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von ${\mathbb C}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2
}
{ = }{ -
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ST)^3
}
{ = }{ -
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ST
}
{ \neq} {T^n S
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Die von $T$ erzeugte Untergruppe in
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} ist kein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in der
\definitionsverweis {Modulgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }/ \pm
\operatorname{Id}}{} die Relationen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2
}
{ = }{
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ST)^3
}
{ = }{
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten.
}
{} {}
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $M$ eine Menge. Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {G \times M} {M
} {(g,x)} {gx
} {,}
heißt
\definitionswort {Gruppenoperation}{}
\zusatzklammer {von $G$ auf $M$} {} {,}
wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ex
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (gh)x
}
{ = }{ g(hx)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Es sei
\maabbdisp {} {G \times M} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ auf einer Menge $M$. Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {Fundamentalbereich}{}
für die Operation, wenn es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{gx
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} auf der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde für das
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \langle 3+ { \mathrm i} , -1+2 { \mathrm i} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element $\tau$ im
\definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{}
$D$ derart, dass $\Gamma$
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für das
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \langle 3+7 { \mathrm i} , 2-5 { \mathrm i} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element $\tau$ im
\definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{}
$D$ derart, dass $\Gamma$
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für das
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \langle \sqrt{5} + { \mathrm i} , 3- \sqrt{2} { \mathrm i} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element $\tau$ im
\definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{}
$D$ derart, dass $\Gamma$
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$\Gamma$ ist
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu einem Gitter in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z + \Z { \mathrm i}
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q + \Q { \mathrm i}
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form
\mathl{\Z + \Z \tau}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{ \Q + \Q { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere die \definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{} auf der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} als \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} auf der offenen \definitionsverweis {Einheitskreisscheibe}{}{} mit Hilfe von Lemma 2.10.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C} \cong \R^2} { {\mathbb C} \cong \R^2
} {}
eine bijektive
$\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subset }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Gitter. Zeige, dass $\varphi$ einen
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
und Homomorphismus der reellen Lie-Gruppe
\maabbdisp {\overline{\varphi}} { {\mathbb C} / \Gamma } { {\mathbb C} / \varphi(\Gamma)
} {}
induziert, dass dies aber kein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen sein muss.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Alle Springmäuse leben in $\Z^2$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung
\mathl{\pm (3,4)}{} und den Sprung
\mathl{\pm (5,2)}{.} Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen
\mathdisp {(14,11),\, (13,15),\, (17, 12),\,(15,19 ) ,\, (16,16) \mbox{ und } (12,20)} { . }
Welche Springmäuse können sich begegnen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
rationale
\definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.}
Zeige, dass es ein rationales Gitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1, \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subset }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {vollständiges Gitter}{}{}
und
\maabbdisp {p} { \R^n} { \R^n/\Gamma
} {}
die kanonische Projektion, wobei der Quotient mit der
\definitionsverweis {Quotiententopologie}{}{}
versehen sei. Zeige, dass $p$ eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde für das
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \langle 1 , -e + \pi { \mathrm i} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element $\tau$ im
\definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{}
$D$ derart, dass $\Gamma$
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.
}
{} {}