Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 8

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass die komplexe Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto \exp z,$

surjektiv ist.

Aufgabe

Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum ${}r$ sei. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ist konvergent auf ${}U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Summenfunktion ${}f+g$ dar.
2. Die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}z^{n}$ mit ${}d_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ ist konvergent auf ${}U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Produktfunktion ${}fg$ dar.

Aufgabe *

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius ${}r>0$. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$

mit

${}b_{n}:={\begin{cases}a_{n},\,{\text{ falls }}n\in I,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius ${}\geq r$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit ${}a_{0}=a_{1}=\ldots =a_{k}=0$. Wir betrachten de Potenzreihe ${}\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}z^{i}$ mit ${}b_{i}=a_{i+k}$ für alle ${}i$. Zeige, dass die beiden Potenzreihen die gleichen Konvergenzradien besitzen, und dass im Konvergenzbereich die Gleichung

${}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z^{k}\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}z^{i}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen und ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ die zugehörige Potenzreihe. Zeige, dass deren Konvergenzradius mit dem Konvergenzradius der um ${}a\in {\mathbb {C} }$ „verschobenen“ Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}T^{n}$ eine komplexe Potenzreihe. Zeige, dass folgende Eigenschaften zueinander äquivalent sind.

1. Die Potenzreihe konvergiert.
2. Es gibt eine Schranke ${}A\in \mathbb {R} _{+}$ mit

   ${}\vert {c_{n}}\vert \leq A^{n}\,$

   für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

3. Es gibt ${}B,s>0$ mit

   ${}\vert {c_{n}}\vert s^{n}\leq B\,$

   für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit ${}c_{n}\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Wir betrachten die Folge ${}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn ${}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$ gegen ${}0$ konvergiert, so hat die Potenzreihe unendlichen Konvergenzradius.

b) Wenn ${}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$ gegen ${}a>0$ konvergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius ${}{\frac {1}{a}}$.

c) Wenn ${}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$ bestimmt gegen ${}+\infty$ divergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius ${}0$.

Aufgabe *

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine komplexe Potenzreihe. Zeige, dass der Konvergenzradius genau dann gleich ${}0$ ist, wenn die Folge ${}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}$ unbeschränkt ist.

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen und es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte dieser Folge. Dann setzt man

${}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}\,$

und

${}\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,(H)}\,$

und nennt diese Zahlen den Limes inferior bzw. den Limes superior der Folge. (Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als ${}\infty$ bzw. als ${}-\infty$ zu interpretieren).

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}{\overline {\mathbb {R} }}$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn

${}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit

${}\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}<b\,.$

Zeige, dass ab einem gewissen ${}N$ die Abschätzung ${}x_{n}<b$ für ${}n\geq N$ gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte reelle Folge,

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Abbildung und ${}y_{n}=f(x_{n})$ die Bildfolge. Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}G$ die Menge der Häufungspunkte von ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

a) Zeige ${}f(H)\subseteq G$.

b) Zeige

${}f{\left(\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\right)}\leq \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.$

c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ und sei

$y_{n}:=\inf {\left(x_{k},\,k\geq n\right)}.$

a) Zeige, dass die Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wachsend ist.

b) Zeige, dass die Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ punktweise konvergiert.

Aufgabe

Bestimme die Häufungspunkte der Folge ${}x_{n}=\sin \left(n{\frac {\pi }{4}}\right)$. Was ist der Limes inferior, was der Limes superior?

Aufgabe

Bestimme den Limes inferior und den Limes superior der Funktionenfolge ${}f_{n}(x)=\sin(nx)$ auf ${}[0,\pi ]$.

Aufgabe

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }nz^{n}.$

Tipp: Dabei ist Aufgabe 20.33 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) hilfreich.

Aufgabe

1. Zeige

   ${}{\sqrt[{n}]{n!}}\geq {\sqrt {n}}\,$

   für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

2. Man folgere, dass die Folge ${}{\sqrt[{n}]{n!}}$ bestimmt gegen ${}+\infty$ divergiert.
3. Man folgere, dass die Folge ${}{\frac {1}{\sqrt[{n}]{n!}}}$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}P$ ein Polynom und sei eine Potenzreihe der Form

$\sum _{n=0}^{\infty }P(n)z^{n}$

gegeben. Bestimme den Konvergenzradius dieser Potenzreihe.

Aufgabe

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }3^{n^{2}}z^{n}.$

Aufgabe

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }3^{-n^{2}}z^{n}.$

Aufgabe

Zeige, dass die Potenzreihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}z^{n}$ den Konvergenzradius ${}1$ besitzt, und dass sie im Punkt ${}1$ konvergiert und im Punkt ${}-1$ nicht konvergiert.

Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten ${}d_{0},\ldots ,d_{3}$ der geometrischen Reihe im Entwicklungspunkt ${}{\frac {1}{2}}$.

(Für ${}d_{1}$ ist es hilfreich, eine Formel für ${}\sum _{n=k}^{\infty }z^{n}$ aufzustellen. Für ${}d_{2},d_{3}$ wird die Aufsummierung ziemlich kompliziert. Mit dem Ableitungskalkül weiter unten haben wir eine einfache Möglichkeit, diese Koeffizienten auszurechnen.)

Aufgabe *

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine auf ${}U{\left(0,R\right)}$ konvergente Potenzreihe und sei ${}b\in U{\left(0,R\right)}$ ein Punkt derart, dass die umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}b$ die Nullreihe sei. Zeige, dass dann auch die Ausgangsreihe die Nullreihe ist.

Aufgabe

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

eine Potenzreihe, die für ein ${}\epsilon >0$ auf ${}U{\left(0,\epsilon \right)}$ konvergiere und dort die Nullfunktion darstelle. Zeige, dass dann ${}c_{n}=0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist (d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe).

Aufgabe *

Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein ${}\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen

$f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

übereinstimmen. Zeige, dass dann ${}a_{n}=b_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ gilt.

Aufgabe *

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=0$ für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.

Aufgabe

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=0$ für alle ungeraden Indizes eine gerade Funktion darstellt.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}$ eine konvergente Potenzreihe, die eine ungerade Funktion darstelle. Zeige, dass ${}c_{k}=0$ für alle geraden Indizes ist.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}$ eine konvergente Potenzreihe, die eine gerade Funktion darstelle. Zeige, dass ${}c_{k}=0$ für alle ungeraden Indizes ist.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ${}R>0$. Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n-1}$ ebenfalls ${}R$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

differenzierbar mit

${}\exp \!'(z)=\exp z\,$

ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 8.12).

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 7.10  (4).

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen ${}f^{(k)}(a)$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe

Bestimme das Polynom

${}f(z)=z^{3}+(4-{\mathrm {i} })z^{2}-2{\mathrm {i} }z+5\,.$

in der neuen Variablen ${}z-1-{\mathrm {i} }$ (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt ${}1+{\mathrm {i} }$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}2$ der Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z)={\frac {z^{2}-z+3}{z}},$

im Entwicklungspunkt ${}{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}4$ der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\left(\sin z\right)}{\left(\cos z\right)},$

im Nullpunkt.

Aufgabe

Bestimme die Taylor-Polynome bis zur Ordnung ${}4$ der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin \left(\cos z\right)+z^{3}\exp \left(z^{2}\right),$

im Entwicklungspunkt ${}0$.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ das ${}n$-te Taylor-Polynom von ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}b$ nicht aus dem ${}n$-ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt ${}a$ bestimmen kann.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt ${}a$ ${}n$-fach differenzierbare Funktion. Zeige, dass das ${}n$-te Taylor-Polynom zu ${}f$ im Punkt ${}a$, geschrieben in der verschobenen Variablen ${}x-a$, gleich dem ${}n$-ten Taylor-Polynom der Funktion ${}g(x)=f(x+a)$ im Nullpunkt (geschrieben in der Variablen ${}x$) ist.

Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt ${}a\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe *

Es sei

${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$

eine in ${}U{\left(0,r\right)}$ konvergente Potenzreihe. Zeige, dass dann die Potenzreihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}$

ebenfalls in ${}U{\left(0,r\right)}$ konvergent ist und dort eine Stammfunktion für ${}f$ darstellt.

In der folgenden Aufgabe betrachte man den natürlichen Logarithmus als die Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{z}}$ auf einer offenen Umgebung der ${}1$, die dort den Wert ${}0$ besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass der natürliche Logarithmus

$\ln \colon U{\left(1,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \ln z,$

im Entwicklungspunkt ${}1$ die Potenzreihenbeschreibung

${}\ln \left(z\right)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}=(z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\ldots \,$

besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Potenzreihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}.$

Zeige, dass diese Potenzreihe den Konvergenzradius ${}1$ besitzt, und dass die Reihe noch für alle ${}x\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {x}\vert =1$, konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}P,Q$ Polynome ${}\neq 0$ und sei eine Potenzreihe der Form

$\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {P(n)}{Q(n)}}z^{n}$

gegeben, wobei ${}Q(n)$ für ${}n\geq k$ nullstellenfrei sei. Bestimme den Konvergenzradius dieser Potenzreihe.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Koeffizienten ${}d_{0},\ldots ,d_{6}$ der Exponentialreihe im Entwicklungspunkt ${}1$.

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es sei ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$ und sei ${}b\in U{\left(0,R\right)}$. Es sei ${}g$ die (zu ${}f$) umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}b$, die auf ${}U{\left(b,r\right)}\subseteq U{\left(0,R\right)}$ konvergiere, und sei ${}c\in U{\left(b,r\right)}$ ein weiterer Punkt. Es sei ${}h$ die zu ${}f$ umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}c$ und es sei ${}{\tilde {h}}$ die zu ${}g$ umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}c$. Zeige ${}h={\tilde {h}}$ auf zwei Arten.

1. Über die Formel für die Koeffizienten aus Satz 8.8.
2. Über die beschriebenen Funktionen.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Folge der Polynome ${}f_{n}=\sum _{k=0}^{n}z^{k}$ (der geometrischen Reihe) auf der offenen Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ nicht gleichmäßig konvergiert.