Kurs:Lineare Algebra/Teil II/2/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 2 | 6 | 3 | 2 | 14 | 4 | 8 | 5 | 5 | 2 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz, dass jede eigentliche Isometrie des einen Eigenvektor zum Eigenwert besitzt.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes.
Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass eine Orthogonalbasis besitzt.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Automorphismengruppe .
Aufgabe * (14 (3+2+2+7) Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte auf die Relation
a) Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
b) Zeige, dass es zu jedem ein äquivalentes Paar mit gibt.
c) Es sei die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung
Zeige, dass injektiv ist.
d) Definiere auf (aus Teil c) eine Verknüpfung derart, dass mit dieser Verknüpfung und mit als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung die Beziehung
für alle gilt.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus
gibt, in dessen Bild das Element liegt.
Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und ein Untervektorraum. Es sei , , eine Basis von und , , eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Gesamtfamilie , genau dann eine Basis von ist, wenn , , eine Basis des Restklassenraumes ist.
Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei das Quadrat im mit den Eckpunkten .
- Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
- Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
- Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ?
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen - Vektorraumes und es sei
ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung
Zeige, dass genau dann asymptotisch stabil ist, wenn sowohl als auch asymptotisch stabil sind.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne in das Tensorprodukt
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum mit dem Dualraum . Zeige, dass es eine Linearform
gibt, die auf abbildet.