- Aufwärmaufgaben
Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes .
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes .
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes
.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes .
Zeige, dass die
reelle Betragsfunktion
-
im Nullpunkt nicht
differenzierbar
ist.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
Bei der „linearen Approximation“ von differenzierbaren Abbildungen kommen sogenannte affin-lineare Abbildungen vor.
Bestimme die
affin-lineare Abbildung
-
mit
und .
Bestimme die
affin-lineare Abbildung
-
deren
Graph
durch die beiden Punkte
und
verläuft.
Es sei
und seien
-
zwei -mal
differenzierbare Funktionen.
Zeige, dass
-
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Es sei
und sei für jedes
eine
konvergente
Folge
-
in gegeben, deren
Limes
mit bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge von Polynomen vom Grad , die durch
-
definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder
abgeschlossenen Kreisscheibe
gleichmäßig
gegen
-
konvergiert.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.
Bestimme, ob die
komplexe Konjugation
-
differenzierbar
ist oder nicht.
Es sei
offen
und seien
-
differenzierbare Funktionen.
Beweise die Formel
-
Es sei ein
Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine
Nullstelle
sämtlicher
Ableitungen ist.
Es sei
-
eine
rationale Funktion.
Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine
(höhere)
Ableitung
mit
gibt.