Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Der perfekte Freiwurf/Der schiefe Wurf

Der schiefe Wurf - Eine Herleitung mit Anlehnung an die Physik

Die Flugbahn des schiefen Wurfs besteht aus zwei zueinander rechtwinkligen Translationen. Diese Translationen sind die Bewegung in vertikaler Richtung und die Bewegung in horizontaler Richtung. Die vertikale Bewegungskomponente kann mit dem senkrechten Wurf nach oben, einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung gegen die Erdbeschleunigung, beschrieben werden.

$y(t)=v_{\mathrm {0} }\cdot t-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot t^{2}$

Der Herleitung erfolgt durch Integration der Geschwindigkeit über die Zeit, was der Sek II zuzuordnen wäre. Die horizontale Bewegungskomponente ist eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.

$x(t)=v_{\mathrm {0} }\cdot t$

Die daraus resultierende Flugbahn ist eine Parabel, die von der Abfluggeschwindigkeit $v_{\mathrm {0} }$ und dem Abflugwinkel $\varphi _{\mathrm {0} }$ abhängt. Nun ergibt sich für die vertikale Komponente

$y(t)=v_{\mathrm {0} }\cdot t\cdot \sin(\varphi _{\mathrm {0} })-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot t^{2}$ (1)

Die horizontale Komponente wird nun wie folgt beschrieben

$x(t)=v_{\mathrm {0} }\cdot t\cdot \cos(\varphi _{\mathrm {0} })$ (2)

Daraus folgt die vektorielle Bahngleichung

${\vec {r}}(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{\mathrm {0} }\cdot t\cdot \cos(\varphi _{\mathrm {0} })\\v_{\mathrm {0} }\cdot t\cdot \sin(\varphi _{\mathrm {0} })-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot t^{2}\end{pmatrix}}$

Möchte man nun eine explizite Parabelgleichung im Raum erhalten, so muss zunächst Gleichung (2) nach $t$ umgestellt werden

$x(t)=v_{\mathrm {0} }\cdot t\cdot \cos(\varphi _{\mathrm {0} })$

$t={\frac {x(t)}{v_{\mathrm {0} }\cdot \cos(\varphi _{\mathrm {0} })}}$

Die Bahngleichung lautet nach Einsetzen in Gleichung (1):

$y(x)=v_{\mathrm {0} }\cdot {\frac {x}{v_{\mathrm {0} }\cdot \cos(\varphi _{\mathrm {0} })}}\cdot \sin(\varphi _{\mathrm {0} })-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot ({\frac {x}{v_{\mathrm {0} }\cdot \cos(\varphi _{\mathrm {0} })}})^{2}$

Vereinfachen:

$y(x)=x\cdot {\frac {\sin(\varphi _{\mathrm {0} })}{\cos(\varphi _{\mathrm {0} })}}-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot {\frac {x^{2}}{v_{\mathrm {0} }^{2}\cdot \cos(\varphi _{\mathrm {0} })^{2}}}$

Mit

${\frac {\sin(\varphi _{\mathrm {0} })}{\cos(\varphi _{\mathrm {0} })}}=\tan(\varphi _{\mathrm {0} })$

und der Verdeutlichung, dass es sich um eine quadratische Funktion handelt, erhält man.

$y(x)=x\cdot \tan(\varphi _{\mathrm {0} })-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot {\frac {1}{v_{\mathrm {0} }^{2}\cdot \cos(\varphi _{\mathrm {0} })^{2}}}\cdot x^{2}$

Wir erhalten eine Potenzfunktion mit positivem ganzzahligem Exponenten, genauer eine Parabel n-ten Grades. Auf dieser Parabel 2-ten Grades können nun alle Punkte eindeutig bestimmt werden.

Literatur

• Wahrscheinlichkeit
• Funktionsgraph