Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Der perfekte Freiwurf/Herleitung der Wurfparabel mit der allgemeinen Form quadratischer Parabeln

Herleitung der Wurfparabel mit der allgemeinen Form quadratischer Parabeln

Der schiefe Wurf beim Basketball weißt eine Parabelform auf . Wir nehmen an, sie habe die Form einer quadratischen Parabel.
Die quadratische Parabel oder ganzrationale Funktion 2. Grades wird durch folgende Funktionsgleichung beschrieben:

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ (1)

In der Ausgangssituation an der Abwurfposition für $x=0$ erhalten wir

$\Leftrightarrow f(0)=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c$

$\Leftrightarrow f(0)=c$

Wir schreiben statt c ein h und bezeichnen damit die Höhe des Balles an der Abwurfposition.

$\Leftrightarrow f(0)=h$ mit $c=h$

Ein Parameter a oder b wird uns erhalten bleiben. Wir entscheiden uns für a

$f(x)=y=ax^{2}+bx+h$

$\Leftrightarrow y-h=ax^{2}+bx$

$\Leftrightarrow y-h-ax^{2}=bx$

$\Leftrightarrow b={\frac {y-h}{x}}-ax$ (2)

Wir setzen (2) in (1) ein, jedoch müssen wir x und y aus den beiden Gleichungen unterscheiden. $x_{\mathrm {k} }$ und $y_{\mathrm {k} }$ sollen die Lage des Ziels bezeichnen, also die Lage des Korbes.

$f(x)=ax^{2}+({\frac {y_{\mathrm {k} }-h}{x_{\mathrm {k} }}}-ax_{\mathrm {k} })\cdot x+h$ (3)

Betrachten wir die Abmessungen des Spielfeldes und der Korbanlagen beim Basketball , ist die Freiwurflinie

$x_{\mathrm {k} }=4m$

von der Korbmitte entfernt und der Korb hängt in einer Höhe von

$y_{\mathrm {k} }=3m$.

Setzen wir die Abwurfhöhe

$h=2m$

und diese Werte dann in (3) ein, erhalten wir

$f(x)=ax^{2}+({\frac {3-2}{4}}-4a)\cdot x+2$

$\Leftrightarrow f(x)=ax^{2}+({\frac {1}{4}}-4a)\cdot x+2$