Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation

Einleitung

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Zielsetzung

Diese Lerneinheit bereitet mit einer Abschätzung und induktiven Definition von positiven Konstanten die Stetigkeit von Gaugefunktional, Quasihalbnorm und Halbnormen auf der Polynomalgebra vor, wobei die Koeffizienten von zwei Gaugefunktionalen bzgl. der LC-Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation, PC-Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation und allgemein der T-Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation nachgewiesen werden kann.

Koeffizientenlemma: Cauchy-Multiplikation

Sei $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Quasihalbnormensystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$. Sei ${\textstyle K\geq 1}$ eine Stetigkeitskonstante der Addition einer Quasihalbnorm $\|\cdot \|_{\alpha }$, ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ und ${\textstyle (d_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ zwei Folgen positiver Zahlen, dann gibt es eine Folge ${\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt:

• (KL1) ${\textstyle b_{i}\geq d_{i}}$ für alle ${\textstyle i\in \mathbb {N} _{0}}$
• (KL2) ${\textstyle K^{i+j+1}\cdot a_{i+j}\leq b_{i}\cdot b_{j}}$ für alle ${\textstyle i,j\in \mathbb {N} _{0}}$.

Beweis

Der Beweis definiert die Koeffizientenfolge ${\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ induktiv definiert.

Definition der ersten Folgenkomponente

Man definiert das erste Folgenkomponenten ${\textstyle b_{o}:=\max\{1,a_{o},d_{o}\}}$ und erhält damit die Bedingung (KL1) ${\textstyle b_{o}\geq d_{o}}$. Ferner gilt für alle ${\textstyle i,j\in \mathbb {N} _{0}}$ mit $i,j\leq 0$: ${\textstyle K^{i+j+1}\cdot a_{i+j}\leq b_{i}\cdot b_{j}}$ Denn es gilt dann $i=j=0$ und damit: ${\textstyle a_{o}=\underbrace {K^{i+j+1}} _{=1}\cdot a_{0+0}\leq \underbrace {b_{0}} _{\geq 1}\leq b_{0}\cdot b_{0}}$

Voraussetzungen für die nächste Folgenkomponente

Sei nun die $(n-1)$-te Folgenkomponente $b_{n-1}$ bereits definiert, damit und es gelten für alle ${\textstyle i,j\leq n-1}$ die Bedingungen :

• (KL1) ${\textstyle b_{i}\geq d_{i}}$ für alle ${\textstyle i\leq (n-1)}$
• (KL2) ${\textstyle K^{i+j+1}\cdot a_{i+j}\leq b_{i}\cdot b_{j}}$ für alle ${\textstyle i,j\leq (n-1)}$.

Definition des nächsten Folgenkomponente

Da (KL1) und (KL2) für ${\textstyle i,j\leq (n-1)}$ gelten, definiert man nun ${\textstyle b_{n}:=\displaystyle \max _{k=1}^{3}\left\{c_{k}\right\}}$ über :

$${\begin{array}{rcl}c_{1}&:=&\max \left\{d_{n},K^{n}a_{n}\right\}\\c_{2}&:=&\max \left\{K^{n+2}{\frac {a_{n+1}}{b_{1}}},K^{n+3}{\frac {a_{n+2}}{b_{2}}},\dots ,K^{2n}{\frac {a_{2n-1}}{b_{n-1}}}\right\}\\c_{3}&:=&{\sqrt {K^{2n+1}\cdot a_{2n}}}\end{array}}$$

Bemerkung zu den Maxima

• $c_{1}$ sorgt insbesondere für die Abschätzung bzgl. der Stetigkeit der Addtion mit der Stetigkeitskonstante $K\geq 1$ und bei der induktiven Definition für $b_{n}\cdot b_{n}\geq K^{2n}\cdot a_{2n}$.
• $c_{2}$ ist für die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation wesentlich, wenn einer der beiden Indizes $n$ und der jeweils anderen kleiner als $n$ ist.
• Der Term $c_{3}={\sqrt {K^{2n+1}\cdot a_{2n}}}$ erlaubt eine Abschätzung des Cauchy-Produktes für $i=j=n$ mit $K^{2n+1}\cdot a_{2n}\leq b_{n}^{2}$

Gültigkeit von (KL1)

Mit der Maximumdefinition erhält man unmittelbar ${\textstyle b_{n}\geq d_{n}}$, da ${\textstyle b_{n}}$ als $b_{n}:=\max \left\{d_{n},\ldots \right\}$ definiert wurde.

Gültigkeit von (KL2) - Fallunterscheidung

Für die Gültigkeit von (KL2) mit ${\textstyle i,j\leq n}$ muss man nur die Fälle untersuchen, bei denen $i=n$ oder $j=n$ gilt. Die Fälle ${\textstyle i,j<n}$ gelten nach Voraussetzung. Wir verwenden eine Fallunterscheidung für:

• (KL2-F1) ${\textstyle i<n}$ und ${\textstyle j=n}$ bzw. ${\textstyle i=n}$ und ${\textstyle j<n}$
• (KL2-F2) ${\textstyle i=n}$ und ${\textstyle j=n}$ wird bei der Abschätzung über:

$b_{n}^{2}\geq c_{3}^{2}=\left({\sqrt {K^{2n+1}\cdot a_{2n}}}\right)^{2}=K^{2n+1}\cdot a_{2n}$

Gültigkeit von (KL2-F1) - Fallunterscheidung 1

Damit ergibt sich ${\textstyle b_{n}\cdot b_{i}\geq K^{n+i+1}\cdot a_{n+i}}$ für alle ${\textstyle i\in \{0,1,\dots ,n-1\}}$. Ferner gilt ${\textstyle b_{n}\cdot b_{n}\geq K^{2n+1}\cdot a_{2n}}$. Also gilt ${\textstyle (KL1)}$ und ${\textstyle (KL2)}$ für ${\textstyle i,j\leq n}$ und ${\textstyle i=n}$ bzw. ${\textstyle j=n}$. Für ${\textstyle i,j<n}$ ergibt sich die Behauptung nach Voraussetzung. $\Box$

Aufgaben für Studierende

Betrachten Sie die Cauchy-Multiplikation auf der Polynomalgebra und erläutern Sie, wie man die Koeffizienten der Gaugefunktionale für pseudokonvexe Algebren definieren kann (siehe auch LC-Stetigkeit und PC-Stetigkeit des Cauchy-Produkt.

Siehe auch

• PC-Regularität
• Stetigkeit Cauchy-Produkt in Banachalgebren
• LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt
• PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt
• T-Stetigkeit Cauchy-Produkt

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