Äquivalenzrelation/Kongruenz von Dreiecken/Beispiel

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Es sei die Menge aller Dreiecke (in der reellen Ebene). Zwei Dreiecke und heißen kongruent, wenn es eine (eventuell uneigentliche) Bewegung gibt, die das eine Dreieck in das andere Dreieck überführt. Eine Bewegung soll dabei die Längen und die Winkel erhalten. Eine solche Bewegung setzt sich zusammen aus einer Verschiebung, einer Achsenspiegelung und einer Drehung (in beliebiger Reihenfolge, beliebig oft angewendet). Die Kongruenz von Dreiecken ist eine Äquivalenzrelation. Ein Dreieck ist zu sich selbst kongruent, da es durch die identische Bewegung in sich überführt wird. Wenn durch eine bestimmte Bewegung in überführt wird, so wird durch die entgegengesetzte Bewegung, also , das zweite Dreieck in überführt. Die Kongruenz ist also symmetrisch. Wenn drei Dreiecke gegeben sind, wobei zu und zu kongruent sind, so gibt es eine Bewegung , die in überführt, und eine Bewegung , die in überführt. Dann hat die Gesamtbewegung die Eigenschaft, dass sie insgesamt in überführt. Ebenso ist die eigentliche Kongruenz, bei der nur eigentliche Bewegungen (also keine Achsenspiegelungen) erlaubt sind, eine Äquivalenzrelation.