Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe/Lösung

Es ist $7$ ein Teiler von

$0=x-x,$

daher ist  $x\sim x$,  was die Reflexivität bedeutet. Sei  $x\sim y$.  Dies bedeutet, dass $7$ ein Teiler von $x-y$ ist, was wiederum bedeutet, dass

$x-y=7\cdot c$

mit einem gewissen  $c\in \mathbb{Z}$  ist. Durch Multiplikation mit $-1$ erhält man

$y-x=-(x-y)=7\cdot (-c).$

Also ist $7$ auch ein Teiler von $y-x$ und somit ist  $y\sim x$,  was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich  $x\sim y$  und  $y\sim z$.  Somit ist

$x-y=7c$

und

$y-z=7d$

mit gewissen  $c,d\in \mathbb{Z}$.  Insgesamt ergibt sich

$x-z=(x-y)+(y-z)=7c+7d=7(c+d),$

sodass auch $x-z$ ein Vielfaches von $7$ ist. Also ist

 $x\sim z$. 

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