Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}7$ ein Teiler von

${}0=x-x\,,$

daher ist  ${}x\sim x$,  was die Reflexivität bedeutet. Sei  ${}x\sim y$.  Dies bedeutet, dass ${}7$ ein Teiler von ${}x-y$ ist, was wiederum bedeutet, dass

${}x-y=7\cdot c\,$

mit einem gewissen  ${}c\in \mathbb {Z}$  ist. Durch Multiplikation mit ${}-1$ erhält man

${}y-x=-(x-y)=7\cdot (-c)\,.$

Also ist ${}7$ auch ein Teiler von ${}y-x$ und somit ist  ${}y\sim x$,  was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich  ${}x\sim y$  und  ${}y\sim z$.  Somit ist

${}x-y=7c\,$

und

${}y-z=7d\,$

mit gewissen  ${}c,d\in \mathbb {Z}$.  Insgesamt ergibt sich

${}x-z=(x-y)+(y-z)=7c+7d=7(c+d)\,,$

sodass auch ${}x-z$ ein Vielfaches von ${}7$ ist. Also ist

 ${}x\sim z$. 

Zur gelösten Aufgabe