Äquivalenzrelation durch Abbildung/R/Vorkommazahl und Nachkommazahl/Beispiel

Wir betrachten die Gaußklammer (oder den „floor“) einer reellen Zahl, also die Abbildung

$\lfloor \,\,\rfloor \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,t\longmapsto \lfloor t\rfloor .$

Eine Zahl ${}t$ wird also auf die größte ganze Zahl abgebildet, die kleiner oder gleich ${}t$ ist (die „Vorkommazahl“). Dabei wird das gesamte ganzzahlige (also mit ganzzahligen Intervallgrenzen) rechtsseitig offene Intervall ${}[n,n+1)$ auf ${}n\in \mathbb {Z}$ abgebildet. Bezüglich dieser Abbildung sind also zwei reelle Zahlen genau dann äquivalent, wenn sie im gleichen ganzzahligen Intervall liegen.

Statt der Vorkommazahl kann man auch die „Nachkommazahl“ betrachten. Das ist die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow [0,1),\,t\longmapsto t-\lfloor t\rfloor .$

Unter der durch diese Abbildung definierte Äquivalenzrelation sind zwei reelle Zahlen genau dann gleich, wenn sie die gleiche Nachkommazahl besitzen, und das ist genau dann der Fall, wenn ihre Differenz eine ganze Zahl ist.