1- cos x/Komplexe Exponentialfunktion/Abschätzung/Aufgabe/Lösung

1. Die Abschätzung ist für ${}x=0$ wegen ${}\cos x=1$ richtig. Die Funktion ${}f(x)={\frac {x^{2}}{2}}-1+\cos x$ besitzt die Ableitungen

   ${}f'(x)=x-\sin x\,$

   und

   ${}f^{\prime \prime }(x)=1-\cos x\,.$

   Diese ist somit stets ${}\geq 0$, daher ist auch ${}f'$ stets ${}\geq 0$ und somit ist ${}f$ wachsend und also ${}f(x)\geq 0$ für ${}x\in \mathbb {R} _{\geq 0}$, was die Behauptung ist.

2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}\vert {1-e^{{\mathrm {i} }x}}\vert ^{2}&={\left(1-e^{{\mathrm {i} }x}\right)}{\overline {1-e^{{\mathrm {i} }x}}}\\&={\left(1-e^{{\mathrm {i} }x}\right)}{\left(1-e^{-{\mathrm {i} }x}\right)}\\&=2-{\left(e^{{\mathrm {i} }x}+e^{-{\mathrm {i} }x}\right)}\\&=2-2\cos x\\&=2(1-\cos x).\end{aligned}}$

   Dies ist ${}\leq \vert {x}\vert ^{2}$ nach Teil (1). Wurzelziehen ergibt die Behauptung.

Zur gelösten Aufgabe