1- cos x/Komplexe Exponentialfunktion/Abschätzung/Aufgabe/Lösung

1. Die Abschätzung ist für  $x=0$  wegen  $\cos x=1$  richtig. Die Funktion  $f(x)=\frac{x^2}{2}-1+\cos x$  besitzt die Ableitungen

   $f^{\prime }(x)=x-\sin x$

   und

   $f^{\prime \prime }(x)=1-\cos x.$

   Diese ist somit stets $\ge 0$, daher ist auch $f^{\prime }$ stets $\ge 0$ und somit ist $f$ wachsend und also  $f(x)\ge 0$  für  $x\in {ℝ}_{\ge 0}$,  was die Behauptung ist.

2. Es ist

   $\begin{array}{cc}|1-e^{\mathrm{i}x}{|}^2& =(1-e^{\mathrm{i}x})\overline{1-e^{\mathrm{i}x}}\\ & =(1-e^{\mathrm{i}x})(1-e^{-\mathrm{i}x})\\ & =2-(e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x})\\ & =2-2\cos x\\ & =2(1-\cos x).\end{array}$

   Dies ist $\le |x{|}^2$ nach Teil (1). Wurzelziehen ergibt die Behauptung.

Zur gelösten Aufgabe