200 023 002/Jordanform/Beispiel

Wir betrachten die Matrix

$M={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&3\\0&0&2\end{pmatrix}}$

und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es sind ${}u=e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${}v=e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert ${}2$. Es ist

${}A:=M-2E_{3}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$

so dass ${}u$ und ${}v$ den Eigenraum aufspannen. Ein Eigenvektor muss das Bild eines Vektors unter der Matrix ${}A$ sein. In der Tat besitzt das lineare Gleichungssystem

${}e_{2}=Aw\,$

die Lösung ${}w={\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$.

Für die durch die Matrix ${}M$ beschriebene lineare Abbildung gilt somit

$Mu=2u,\,Mv=2v,\,Mw=2w+v,$

sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch

${\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$

beschrieben wird. Diese Matrix ist in jordanscher Normalform mit den Jordanblöcken ${}(2)$ und ${}{\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}}$.