200 023 002/Jordanform/Beispiel

Wir betrachten die Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 3\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es sind  $u=e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$  und  $v=e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$  linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert $2$. Es ist

$A:=M-2E_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$

sodass $u$ und $v$ den Eigenraum aufspannen. Ein Eigenvektor muss das Bild eines Vektors unter der Matrix $A$ sein. In der Tat besitzt das lineare Gleichungssystem

$e_2=Aw$

die Lösung  $w=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)$. 

Für die durch die Matrix $M$ beschriebene lineare Abbildung gilt somit

$Mu=2u,Mv=2v,Mw=2w+v,$

sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch

$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

beschrieben wird. Diese Matrix ist in jordanscher Normalform mit den Jordanblöcken $(2)$ und $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$.