221 023 002/Jordanform/Beispiel

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&2&1\\0&2&3\\0&0&2\end{pmatrix}}\,$

und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es ist  ${}u=e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$  ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}2$. Es ist

${}A:=M-2E_{3}={\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$

sodass es keinen weiteren linear unabhängigen Eigenvektor gibt. Wir interessieren uns für das lineare Gleichungssystem  ${}e_{1}=Av$.  Daraus ergibt sich sofort (aus der zweiten Zeile)  ${}v_{3}=0$  und somit  ${}2v_{2}=1$  (${}v_{1}$ können wir frei als ${}0$ wählen). Also setzen wir  ${}v={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{2}}\\0\end{pmatrix}}$.  Schließlich brauchen wir eine Lösung für  ${}v=Aw$.  Dies führt auf  ${}w={\begin{pmatrix}0\\-{\frac {1}{12}}\\{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}$.  Für die durch die Matrix ${}M$ beschriebene lineare Abbildung gilt somit

$Mu=2u,\,Mv=2v+u,\,Mw=2w+v,$

sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch

${\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$

beschrieben wird. Diese Matrix ist eine Jordanmatrix und insbesondere in jordanscher Normalform.