7ter Kreisteilungskörper/Zwischenkörper/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}3$ ein primitives Element der Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(7)$ . Somit ist der durch (es sei ${}\zeta$ eine primitive siebte Einheitswurzel)

\zeta \longmapsto \zeta ^{3}

gegebene Automorphismus ein Erzeuger der Galoisgruppe. Die nichttrivialen Untergruppen der Galoisgruppe werden durch

\zeta \longmapsto \zeta ^{6}=\zeta ^{-1}={\overline {\zeta }}

bzw. durch

\zeta \longmapsto \zeta ^{9}=\zeta ^{2}

erzeugt.

Unter der ersten Abbildung wird ${}\zeta ^{2}$ auf ${}\zeta ^{12}=\zeta ^{5}={\overline {\zeta ^{2}}}$ und ${}\zeta ^{3}$ auf ${}\zeta ^{18}=\zeta ^{4}={\overline {\zeta ^{3}}}$ abgebildet. Die Abbildung ist also die Einschränkung der komplexen Konjugation und der Fixkörper ist

{}K_{7}\cap \mathbb {R} =\mathbb {Q} [\zeta +{\overline {\zeta }}]\,.

Dabei ist ${}\supseteq$ klar. Es ist

{}{\left(\zeta +{\overline {\zeta }}\right)}^{2}=\zeta ^{2}+{\overline {\zeta ^{2}}}+2\,

und

{}{\left(\zeta +{\overline {\zeta }}\right)}^{3}=\zeta ^{3}+{\overline {\zeta ^{3}}}+3\zeta +3{\overline {\zeta }}\,.

Somit ist mit ${}u=\zeta +{\overline {\zeta }}$

{}u^{3}+u^{2}-2u-1=\zeta ^{3}+{\overline {\zeta ^{3}}}+3\zeta +3{\overline {\zeta }}+\zeta ^{2}+{\overline {\zeta ^{2}}}+2-2{\left(\zeta +{\overline {\zeta }}\right)}-1=\sum _{i=0}^{6}\zeta ^{i}=0\,.

Also ist

{}K_{7}\cap \mathbb {R} \cong \mathbb {Q} [U]/(U^{3}+U^{2}-2U-1)\,.

Unter der Abbildung ${}\zeta \mapsto \zeta ^{2}$ wird ${}\zeta ^{2}$ auf ${}\zeta ^{4}$ und ${}\zeta ^{4}$ auf ${}\zeta ^{8}=\zeta$ abgebildet. Somit wird unter dieser Abbildung ${}\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}$ auf sich selbst abgebildet und ist ein Fixelement unter diesem Automorphismus. Es ist