7ter Kreisteilungskörper/Zwischenkörper/Aufgabe/Lösung

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Es ist ein primitives Element der Einheitengruppe von . Somit ist der durch (es sei eine primitive siebte Einheitswurzel)

gegebene Automorphismus ein Erzeuger der Galoisgruppe. Die nichttrivialen Untergruppen der Galoisgruppe werden durch

bzw. durch

erzeugt.

Unter der ersten Abbildung wird auf und auf abgebildet. Die Abbildung ist also die Einschränkung der komplexen Konjugation und der Fixkörper ist

Dabei ist klar. Es ist

und

Somit ist mit

Also ist

Unter der Abbildung wird auf und auf abgebildet. Somit wird unter dieser Abbildung auf sich selbst abgebildet und ist ein Fixelement unter diesem Automorphismus. Es ist

Das Element

erfüllt als die quadratische Gleichung

Daher ist

und der Fixkörper ist . Zur trivialen Untergruppe gehört der volle Kreisteilungskörper

und zur vollen Gruppe gehört .