7ter Kreisteilungskörper/Zwischenkörper/Aufgabe/Lösung

Es ist $3$ ein primitives Element der Einheitengruppe von $\mathbb{Z}/(7)$. Somit ist der durch (es sei $\zeta$ eine primitive siebte Einheitswurzel)

$\zeta ⟼{\zeta }^3$

gegebene Automorphismus ein Erzeuger der Galoisgruppe. Die nichttrivialen Untergruppen der Galoisgruppe werden durch

$\zeta ⟼{\zeta }^6={\zeta }^{-1}=\bar{\zeta }$

bzw. durch

$\zeta ⟼{\zeta }^9={\zeta }^2$

erzeugt.

Unter der ersten Abbildung wird ${\zeta }^2$ auf  ${\zeta }^{12}={\zeta }^5=\overline{{\zeta }^2}$  und ${\zeta }^3$ auf  ${\zeta }^{18}={\zeta }^4=\overline{{\zeta }^3}$  abgebildet. Die Abbildung ist also die Einschränkung der komplexen Konjugation und der Fixkörper ist

$K_7\cap ℝ=\mathbb{Q}[\zeta +\bar{\zeta }].$

Dabei ist $\supseteq$ klar. Es ist

${(\zeta +\bar{\zeta })}^2={\zeta }^2+\overline{{\zeta }^2}+2$

und

${(\zeta +\bar{\zeta })}^3={\zeta }^3+\overline{{\zeta }^3}+3\zeta +3\bar{\zeta }.$

Somit ist mit  $u=\zeta +\bar{\zeta }$ 

$u^3+u^2-2u-1={\zeta }^3+\overline{{\zeta }^3}+3\zeta +3\bar{\zeta }+{\zeta }^2+\overline{{\zeta }^2}+2-2(\zeta +\bar{\zeta })-1=\sum _{i=0}^6{\zeta }^i=0.$

Also ist

$K_7\cap ℝ\cong \mathbb{Q}[U]/(U^3+U^2-2U-1).$

Unter der Abbildung $\zeta \mapsto {\zeta }^2$ wird ${\zeta }^2$ auf ${\zeta }^4$ und ${\zeta }^4$ auf  ${\zeta }^8=\zeta$  abgebildet. Somit wird unter dieser Abbildung $\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^4$ auf sich selbst abgebildet und ist ein Fixelement unter diesem Automorphismus. Es ist

${(\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^4)}^2+\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^4={\zeta }^2+{\zeta }^4+{\zeta }^8+2{\zeta }^3+2{\zeta }^5+2{\zeta }^6+\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^4=2(\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^3+{\zeta }^4+{\zeta }^5+{\zeta }^6)=-2.$

Das Element

$v=\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^4$

erfüllt als die quadratische Gleichung

$v^2+v+2=0.$

Daher ist

$v=\frac{\sqrt{-7}-1}{2}$

und der Fixkörper ist  $\mathbb{Q}[\sqrt{-7}]\cong \mathbb{Q}[X]/(X^2+7)$.  Zur trivialen Untergruppe gehört der volle Kreisteilungskörper

$K_7=\mathbb{Q}[X]/({\Phi }_7)$

und zur vollen Gruppe gehört $\mathbb{Q}$.

Zur gelösten Aufgabe