A1-Singularität/Gleichung und Quotient/Beispiel

Die durch ${}Z^{2}-XY$ gegebene Nullstellenmenge hat im Nullpunkt eine Singularität. Wir betrachten auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ den Automorphismus (die Punktspiegelung) ${}u\mapsto -u,v\mapsto -v$. Jeder Punkt wird also auf den gegenüberliegenden Punkt abgebildet, nur der Nullpunkt wird auf sich selbst abgebildet. Welches geometrische Objekt entsteht, wenn man jeden Punkt mit seinem Gegenüber identifiziert? Ein sinnvoller Ansatz ist hier, nach Funkionen auf dem ${}K^{2}$ zu suchen, die für je zwei gegenüberliegende Punkte den gleichen Wert haben. Beispiele für solche Funktionen sind ${}u^{2},v^{2},uv$. Alle Polynome in ${}u,v$ mit dieser Invarianzeigenschaft lassen sich als Polynom in diesen drei Monomen schreiben. Diese drei Monome stehen untereinander in einer Beziehung, es gilt

${}(uv)^{2}=u^{2}v^{2}\,.$

Wenn man ${}z=uv$, ${}x=u^{2}$ und ${}y=v^{2}$ setzt, so ist dies die Gleichung vom Anfang. Wir haben also ein Beispiel einer Singularität, die sich als Nullstellenmenge eines Polynom und als Quotientenmenge unter einer natürlichen Identifizierung erhalten lässt.