A1-Singularität/Primideal/Symbolische Potenz/Beispiel

Wir betrachten im Ring  ${}R=K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{2}\right)}$  das Primideal  ${}{\mathfrak {p}}=(X,Z)$.  Es ist

${}{\mathfrak {p}}^{2}={\left(X^{2},XZ,Z^{2}\right)}={\left(X^{2},XZ,XY\right)}=(X){\left(X,Z,Y\right)}\,.$

Dagegen gilt wegen

${}X={\frac {1}{Y}}\cdot Z^{2}\,$

in ${}R_{\mathfrak {p}}$ die Zugehörigkeit ${}X\in {\mathfrak {p}}^{(2)}$ und somit

${}{\mathfrak {p}}^{2}=(X){\left(X,Y,Z\right)}\subset (X)={\mathfrak {p}}^{(2)}\,.$