Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

aus.

Bei einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$ heißt ${}L$ die Definitionsmenge (oder Definitionsbereich) der Abbildung und ${}M$ die Wertemenge (oder Wertevorrat oder Zielbereich) der Abbildung. Zu einem Element ${}x\in L$ heißt das Element

${}F(x)\in M\,$

der Wert von ${}F$ an der Stelle ${}x$. Statt Stelle sagt man auch häufig Argument.

Zwei Abbildungen ${}F\colon L_{1}\rightarrow M_{1}$ und ${}G\colon L_{2}\rightarrow M_{2}$ sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle ${}x\in L_{1}=L_{2}$ die Gleichheit ${}F(x)=G(x)$ in ${}M_{1}=M_{2}$ gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch Funktionen genannt. Wir werden den Begriff Funktion für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge ein Zahlbereich wie die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ ist.

Zu jeder Menge ${}L$ nennt man die Abbildung

$L\longrightarrow L,\,x\longmapsto x,$

also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die Identität (auf ${}L$). Sie wird mit ${}\operatorname {Id} _{L}$ bezeichnet. Zu einer weiteren Menge ${}M$ und einem fixierten Element ${}c\in M$ nennt man die Abbildung

$L\longrightarrow M,\,x\longmapsto c,$

die also jedem Element ${}x\in L$ den konstanten Wert ${}c$ zuordnet, die konstante Abbildung (mit dem Wert ${}c$). Sie wird häufig wieder mit ${}c$ bezeichnet.

Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graphen der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen. Solche Abbildungsvorschriften sind beispielsweise (jeweils von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$) ${}x\mapsto x^{2}$, ${}x\mapsto x^{3}-e^{x}+\sin \left(x\right)$, etc. In den Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften sind empirische Funktionen wichtig, die reale Bewegungen oder Entwicklungen beschreiben, doch auch bei solchen Funktionen erhebt sich die Frage, ob man diese auch mathematisch gut beschreiben (approximieren) kann.

Fußnoten