Abbildung/Surjektiv/Geeignete Einschränkung/Aufgabe/Lösung

Wegen der Surjektivität von ${}\varphi$ gibt es zu jedem ${}y\in M$ mindestens ein ${}x\in L$ mit ${}\varphi (x)=y$. Wir wählen nun zu jedem ${}y\in M$ ein solches zugehöriges ${}x$. Es sei ${}S$ die Vereinigung all dieser gewählten ${}x$. Die auf ${}S$ eingeschränkte Abbildung

$\varphi '\colon S\longrightarrow M,\,x\longmapsto \varphi (x),$

ist nach wie vor surjektiv, da ja jedes ${}y\in M$ von einem (dem gewählten) ${}x\in S$ erreicht wird. Die Abbildung ist injektiv, da es zu jedem ${}y\in M$

in ${}S$ nur das eine gewählte Urbild gibt. Insgesamt ist also ${}\varphi '$ bijektiv.

Zur gelösten Aufgabe