Abbildung/Zwei Mengen/Sortenprädikate/Beispiel

Eine angemessene prädikatenlogische Formulierung für Abbildungen zwischen zwei Mengen wird durch das Symbolalphabet beschrieben, das neben Variablen aus ${}\{F,D,Z\}$ besteht, wobei ${}F$ ein einstelliges Funktionssymbol und ${}D$ (für „Definitionsbereich“) und ${}Z$ (für „Zielbereich“) zwei einstellige Relationssymbole sind, mit denen man den Definitionsbereich und den Zielbereich einer Abbildung erfassen möchte. Bei Interpretation in einer Menge ${}M$ ist die Funktion ${}f=F^{M}$ zwar auf jedes Element aus ${}M$ anwendbar, man kann aber relevante Eigenschaften einer Abbildung spezifisch für die durch ${}D$ bzw. ${}Z$ bestimmten Teilmengen (den Definitionsbereich bzw. Zielbereich) formulieren. Beispielsweise besagt der Ausdruck

$\forall x(Dx\rightarrow Zfx),$

dass für jedes ${}x$, das zum Definitionsbereich gehört, der Funktionswert zu ${}Z$ gehören muss. Die Surjektivität (als Abbildung von der durch ${}D$ beschriebenen Menge, also $D^{M}$, in die durch ${}Z$ beschriebene Menge, also $Z^{M}$) wird durch

$\forall y{\left(Zy\rightarrow \exists x{\left(Dx\wedge fx=y\right)}\right)}$

beschrieben.