Ableitung/K/Affin-lineare Funktion/Direkt/Beispiel

Es seien ${}s,c\in {\mathbb {K} }$ und sei

$\alpha \colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto sz+c,$

eine sogenannte affin-lineare Funktion. Zur Bestimmung der Ableitung in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ betrachtet man

${}{\frac {(sx+c)-(sa+c)}{x-a}}={\frac {s(x-a)}{x-a}}=s\,.$

Dies ist konstant gleich ${}s$, so dass der Limes für ${}x$ gegen ${}a$ existiert und gleich ${}s$ ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich ${}s$. Die Steigung der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung.