Ableitung/Umkehrfunktion/Falscher Beweis/Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine bijektive differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)\neq 0$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ und der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$. Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

${}{\left(f\circ f^{-1}\right)}(y)=y\,.$

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

${}f'{\left(f^{-1}(y)\right)}{\left(f^{-1}\right)}'(y)=1\,.$

Also ist

${}{\left(f^{-1}\right)}'(y)={\frac {1}{f'{\left(f^{-1}(y)\right)}}}\,.$

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