Achsenkreuz/C/Umgebungsrand/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y)\longmapsto xy,$

die im Nullpunkt einen isolierten kritischen Punkt besitzt. Die Hyperfläche ${}f^{-1}(0)$ ist das komplexe Achsenkreuz und besteht, aus zwei reellen Ebenen, die sich in einem Punkt treffen. Der Schnitt mit einem abgeschlossenen Ball ${}B\left(0,\delta \right)$ mit beliebigem Radius besteht entsprechend aus zwei abgeschlossenen Kreisscheiben, die sich in ihrem Mittelpunkt treffen. Der Umgebungsrand

$f^{-1}(0)\cap S{\left(0,\delta \right)}$

besteht aus zwei disjunkten Kreisen. Den Schnitt mit dem abgeschlossenen Kreis kann man als Kegel über den beiden Kreisen auffassen, die Singularität ist davon die Spitze dieses Doppelkegels.