Achteldrehung/Matrix/Potenzen/Gruppe/Aufgabe/Lösung

a) ${}\,$

b) Es ist

{}M^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{4}}-{\frac {2}{4}}&-{\frac {2}{4}}-{\frac {2}{4}}\\{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{4}}&-{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{4}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,.

c) Es ist

{}M^{4}={\left(M^{2}\right)}^{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,

und

{}M^{8}={\left(M^{4}\right)}^{2}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.

d) Es ist

{}M^{1003}=M^{8\cdot 125+3}={\left(M^{8}\right)}^{125}\cdot M^{3}=M\cdot M^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\,.

e) Die Potenzen ${}M^{k}$ für ${}k\leq 8$ stimmen mit einer Potenz ${}M^{i}$ mit

{}i=0,1,\ldots ,7\,

überein, deshalb ist die angegebene Menge abgeschlossen unter der Multiplikation. Es sind ${}M^{1}$ und ${}M^{7}$ , ${}M^{2}$ und ${}M^{6}$ , ${}M^{3}$ und ${}M^{5}$ zueinander und ${}M^{4}$ zu sich selbst invers. Die Assoziativität ergibt sich aus der Assoziativität der Matrizenmultiplikation. Die acht Potenzen sind untereinander verschieden: Dies ist klar für die explizit berechneten Potenzen