Addition/Multiplikation/Potenz/Gleichung für Bild/Aufgabe

Es sei

${}G={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x>y>0\right\}}\,.$

Wie betrachten die Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy,x^{y})=(u,v,w).$

Zeige, dass sämtliche Bildpunkte der Abbildung ${}\varphi$ die Bedingung

${}w^{2}2^{u}{\left(u+{\sqrt {u^{4}-4v}}\right)}^{\sqrt {u^{2}-4v}}={\left(u+{\sqrt {u^{2}-4v}}\right)}^{u}2^{\sqrt {u^{2}-4v}}\,$

erfüllen.

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