Adjazenzmatrix/Erste Eigenschaften/Fakt

Die Adjazenzmatrix $A$ eines Graphen  $G=(V,E)$  besitzt die folgenden Eigenschaften.

1. Für einen Knotenpunkt $v$ ist $A{e}_v$ dasjenige $V$-Tupel (derjenige Spaltenvektor), in dem der $u$-te Eintrag genau dann eine $1$ (und sonst $0$) ist, wenn $\{u,v\}$ eine Kante ist.
2. Für Knotenpunkte  $u,v\in V$  ist

   $e_u^{\text{tr}}A{e}_v=\{\begin{array}{c}1,\text{wenn }\{u,v\}\in E,\\ 0\text{ sonst}.\end{array}$

3. $A$ ist symmetrisch.
4. Die Diagonaleinträge von $A$ sind $0$.
5. Der Knotengrad zum Punkt  $v\in V$  ist die Summe der Einträge der $v$-ten Zeile (oder Spalte) von $A$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen