Affin-algebraische Mengen/Reelle affine Ebene/X^2+Y^2/Verschwindungsideal und Koordinatenring/Beispiel

Es sei ${}R=\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2})$. Da Quadrate im Reellen nie negativ sind, besteht die Nullstellenmenge des Polynoms ${}X^{2}+Y^{2}$ einzig aus dem Nullpunkt, ${}V(X^{2}+Y^{2})=\{(0,0)\}$. Das zugehörige Verschwindungsideal ist das maximale Ideal ${}(X,Y)$, und der zugehörige Restklassenring (der Koordinatenring) ist dann ${}\mathbb {R} [X,Y]/(X,Y)\cong \mathbb {R}$. Der Koordinatenring kann also vom Restklassenring, mit dem man startet und dessen Ideal das Nullstellengebilde definiert, sehr verschieden sein.