Affin-algebraische Mengen/Reelle affine Ebene/X^2+Y^2/Verschwindungsideal und Koordinatenring/Beispiel

Es sei  $R=ℝ[X,Y]/(X^2+Y^2)$.  Da Quadrate im Reellen nie negativ sind, besteht die Nullstellenmenge des Polynoms $X^2+Y^2$ allein aus dem Nullpunkt,  $V(X^2+Y^2)=\{(0,0)\}$.  Das zugehörige Verschwindungsideal ist das maximale Ideal $(X,Y)$, und der zugehörige Restklassenring (der Koordinatenring) ist dann  $ℝ[X,Y]/(X,Y)\cong ℝ$.  Der Koordinatenring kann also vom Restklassenring, mit dem man startet und dessen Ideal das Nullstellengebilde definiert, sehr verschieden sein.