Affin-lineare Abbildung/Baryzentrische Kombination/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien $V$ und $W$ die Vektorräume zu $E$ bzw. zu $F$ . Es sei zunächst $ψ$ affin-linear mit linearem Anteil

ψ_{0} : V ⟶ W

und eine baryzentrische Kombination $\sum_{i \in I} a_{i} P_{i}$ mit $P_{i} \in E$ und $\sum_{i \in I} a_{i} = 1$ gegeben. Dann ist (mit einem beliebigen Punkt $Q \in E$ )

\begin{matrix} ψ (\sum_{i \in I} a_{i} P_{i}) & = ψ (Q + \sum_{i \in I} a_{i} \vec{Q P_{i}}) \\ = ψ (Q) + ψ_{0} (\sum_{i \in I} a_{i} \vec{Q P_{i}}) \\ = ψ (Q) + \sum_{i \in I} a_{i} ψ_{0} (\vec{Q P_{i}}) \\ = ψ (Q) + \sum_{i \in I} a_{i} \vec{ψ (Q) ψ (P_{i})} \\ = \sum_{i \in I} a_{i} ψ (P_{i}) . \end{matrix}

Es sei nun umgekehrt die Abbildung $ψ$ mit den baryzentrischen Kombinationen verträglich. Wir setzen

φ (v) := \vec{ψ (P) ψ (P + v)}

für $v \in V$ , mit einem $P \in E$ . Wir zeigen zunächst, dass dies unabhängig von dem gewählten Punkt $P$ ist. Für einen weiteren Punkt $Q \in E$ ist

(P + v) - (Q + v) + Q

eine baryzentrische Kombination für den Punkt $P$ , siehe Aufgabe. Daher ist in $F$

ψ (P + v) - ψ (Q + v) + ψ (Q) = ψ (P) .

Somit ist in $V$

\vec{ψ (P) ψ (P + v)} - \vec{ψ (P) ψ (Q + v)} + \vec{ψ (P) ψ (Q)} = 0

und daher

\begin{matrix} \vec{ψ (P) ψ (P + v)} & = \vec{ψ (P) ψ (Q + v)} - \vec{ψ (P) ψ (Q)} \\ = \vec{ψ (P) ψ (Q + v)} + \vec{ψ (Q) ψ (P)} \\ = \vec{ψ (Q) ψ (Q + v)} . \end{matrix}

Es bleibt zu zeigen, dass $φ$ linear ist. Für $u = \vec{P Q}$ und $v = \vec{P R}$ ist

\begin{matrix} ψ (P) + φ (a u + b v) & = ψ (P + a u + b v) \\ = ψ (P + a \vec{P Q} + b \vec{P R}) \\ = ψ ((1 - a - b) P + a Q + b R) \\ = (1 - a - b) ψ (P) + a ψ (Q) + b ψ (R) \\ = ψ (P) + a \vec{ψ (P) ψ (Q)} + b \vec{ψ (P) ψ (R)} \\ = ψ (P) + a φ (\vec{P Q}) + b φ (\vec{P R}) \\ = ψ (P) + a φ (u) + b φ (v) . \end{matrix}

Also ist

φ (a u + b v) = a φ (u) + b φ (v) .

Zur bewiesenen Aussage