Affin-lineare Abbildung/Baryzentrische Kombination/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}V$ und ${}W$ die Vektorräume zu ${}E$ bzw. zu ${}F$ . Es sei zunächst ${}\psi$ affin-linear mit linearem Anteil

\psi _{0}\colon V\longrightarrow W

und eine baryzentrische Kombination ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ mit ${}P_{i}\in E$ und ${}\sum _{i\in I}a_{i}=1$ gegeben. Dann ist (mit einem beliebigen Punkt ${}Q\in E$ )

{}{\begin{aligned}\psi {\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}&=\psi {\left(Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\psi _{0}{\left(\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}\psi _{0}{\left({\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {\psi (Q)\psi (P_{i})}}\\&=\sum _{i\in I}a_{i}\psi (P_{i}).\end{aligned}}

Es sei nun umgekehrt die Abbildung ${}\psi$ mit den baryzentrischen Kombinationen verträglich. Wir setzen

{}\varphi (v):={\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}\,

für ${}v\in V$ , mit einem ${}P\in E$ . Wir zeigen zunächst, dass dies unabhängig von dem gewählten Punkt ${}P$ ist. Für einen weiteren Punkt ${}Q\in E$ ist