Affin-lineare Abbildung/Baryzentrische Kombination/Fakt/Beweis

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Beweis

Seien und die Vektorräume zu bzw. zu . Sei zunächst affin-linear mit linearem Anteil

und eine baryzentrische Kombination mit und gegeben. Dann ist (mit einem beliebigen Punkt )

Sei nun umgekehrt die Abbildung mit den baryzentrischen Kombinationen verträglich. Wir setzen

für . Wir zeigen zunächst, dass dies unabhängig von dem gewählten Punkt ist. Es ist

eine baryzentrische Kombination für den Punkt , siehe Aufgabe. Daher ist in

Somit ist in

und daher

Es bleibt zu zeigen, dass linear ist. Für und ist

Also ist

Zur bewiesenen Aussage