Affine Ebene/Polynomiale Abbildung/u^2+uv,v-u^2/Bild von Geradenscharen/Aufgabe

Betrachte die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}+uv,v-u^{2})=(x,y).$

Bestimme zu den drei folgenden Scharen aus parallelen Geraden die Bildkurven der Geraden unter dieser Abbildung (man gebe sowohl eine Parametrisierung als auch eine Kurvengleichung).

1. Die zur ${}u$-Achse parallelen Geraden,
2. die zur ${}v$-Achse parallelen Geraden,
3. die zur Antidiagonalen parallelen Geraden.

Bestimme zu jeder Schar, ob sich die Bildkurven überschneiden.

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