Wir betrachten die durch
definierte endliche
étale Abbildung
-
Es sei
die Gruppe der
-ten Einheitswurzeln, die in natürlicher Weise aus
operiert und deren Quotient
ist
(
sei kein Vielfaches der Charakteristik). Die Operation lässt sich auf das triviale Geradenbündel
fortsetzen, z.B. durch
-
Da die affine Gerade das einzige Geradenbündel auf
ist, muss gemäß dem flachen Abstieg der Quotient dieser Operation auf dem Bündel gleich dem trivialen Bündel sein, obwohl die Operation nicht trivial „aussieht“. Der Punkt ist, dass diese Operation isomorph zur (in der Bündelkomponente)
trivialen Operation ist. Die Operation
-
wird nämlich durch die Bündelisomorphie
in die erste Operation überführt.
Wenn man
und
durch die affinen Geraden
und
ersetzt, so ist die durch
gegebene Abbildung ebenfalls treuflach, aber nicht mehr
étale. Dies bedeutet insbesondere, dass kein Isomorphismus zwischen
und
vorliegt. In der Tat ist ja
die
-fache disjunkte Kopie von
, während
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\tilde {Y}}\times _{\tilde {X}}{\tilde {Y}}&=\operatorname {Spec} {\left(K[s]\otimes _{K[t]}K[s]\right)}\\&=\operatorname {Spec} {\left(K[s,{\tilde {s}},t]/(s^{n}-t,{\tilde {s}}^{n}-t)\right)}\\&=\operatorname {Spec} {\left(K[s,{\tilde {s}}]/(s^{n}-{\tilde {s}}^{n})\right)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed743b6ca65bab20a115bf55ae769554608c0087)
(bei
algebraisch abgeschlossen)
die Vereinigung von
Geraden im Nullpunkt ist.
In Folge dieses Unterschieds fallen auch die Abstiegsbedingung und die Invariantenbedingung auseinander. Es gibt nach wie vor nur das triviale Geradenbündel auf
mit der trivialen Operation und dem trivialen Abstieg.
Die Operationen
von
auf
ist nicht mehr isomorph zur trivialen Operation, die oben über
angegebene Isomorphie bricht zusammen, da
nicht mehr zur Verfügung steht. Die nicht-triviale Operation erfüllt nicht mehr die Verträglichkeitsbedingung und hat daher keinen Abstieg.
Das Quotientenschema
(im Sinne der Invariantentheorie, also das Spektrum des Invariantenrings) ist für
kein Geradenbündel über
, sondern enthält über dem Nullpunkt eine nichtreduzierte Faser mit einer Singularität. Der Invariantenring der Operation ist
-
der als
![{\displaystyle {}K[s^{n}]=K[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358fd733f1918fda0fc5c8e93a415bba8f05be2b)
-Algebra zu betrachten ist. Wenn man

invertiert, so kann man

für

schreiben und erhält das triviale Geradenbündel zu den Koordinaten
und
.
Bei
handelt es sich bei der Operation
um die Punktspiegelung der affinen Ebene
am Nullpunkt über der Punktspiegelung der affinen Geraden
. Dabei wird die Faser über dem Nullpunkt auf sich selbst abgebildet
(aber „umgeklappt“).
Für den Invariantenring liegt die Situation
vor
(mit
.), wobei die Faser zu
durch
beschrieben wird, also nicht reduziert ist. Der Rückzug dieses Schemas nach
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {Spec} {\left((K[t]\otimes _{K[s]}K[a,b,c]/(ac-b^{2}))\right)}&=\operatorname {Spec} {\left(K[t,s,a,b,c]/(tc-b^{2},t-s^{2},a-s^{2})\right)}\\&=\operatorname {Spec} {\left(K[s,b,c]/(s^{2}c-b^{2})\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31fb07c85e8acea7ceb5cec0dc3d4efb99d36aa)
Dies ist ein nicht normales Schema und insbesondere nicht isomorph zur affinen Gerade
(wie dies bei der Abstiegskorrespondenz wäre), und die Faser über
ist nicht reduziert. Da dieses Schema von
herkommt, erfüllt es wiederum die Abstiegsbedingung.