Affine Gerade über (punktierter) Geraden/Operation der Einheitswurzel/Trivialisierbarkeit/Beispiel

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Wir betrachten die durch definierte endliche étale Abbildung

Es sei die Gruppe der -ten Einheitswurzeln, die in natürlicher Weise aus operiert und deren Quotient ist ( sei kein Vielfaches der Charakteristik). Die Operation lässt sich auf das triviale Geradenbündel fortsetzen, z.B. durch

Da die affine Gerade das einzige Geradenbündel auf ist, muss gemäß dem flachen Abstieg der Quotient dieser Operation auf dem Bündel gleich dem trivialen Bündel sein, obwohl die Operation nicht trivial „aussieht“. Der Punkt ist, dass diese Operation isomorph zur (in der Bündelkomponente) trivialen Operation ist. Die Operation

wird nämlich durch die Bündelisomorphie in die erste Operation überführt.

Wenn man und durch die affinen Geraden und ersetzt, so ist die durch gegebene Abbildung ebenfalls treuflach, aber nicht mehr étale. Dies bedeutet insbesondere, dass kein Isomorphismus zwischen und vorliegt. In der Tat ist ja die -fache disjunkte Kopie von , während

(bei algebraisch abgeschlossen) die Vereinigung von Geraden im Nullpunkt ist.

In Folge dieses Unterschieds fallen auch die Abstiegsbedingung und die Invariantenbedingung auseinander. Es gibt nach wie vor nur das triviale Geradenbündel auf mit der trivialen Operation und dem trivialen Abstieg. Die Operationen von auf ist nicht mehr isomorph zur trivialen Operation, die oben über angegebene Isomorphie bricht zusammen, da nicht mehr zur Verfügung steht. Die nicht-triviale Operation erfüllt nicht mehr die Verträglichkeitsbedingung und hat daher keinen Abstieg.

Das Quotientenschema (im Sinne der Invariantentheorie, also das Spektrum des Invariantenrings) ist für kein Geradenbündel über , sondern enthält über dem Nullpunkt eine nichtreduzierte Faser mit einer Singularität. Der Invariantenring der Operation ist

der als -Algebra zu betrachten ist. Wenn man invertiert, so kann man für schreiben und erhält das triviale Geradenbündel zu den Koordinaten

und .

Bei handelt es sich bei der Operation um die Punktspiegelung der affinen Ebene am Nullpunkt über der Punktspiegelung der affinen Geraden . Dabei wird die Faser über dem Nullpunkt auf sich selbst abgebildet (aber „umgeklappt“). Für den Invariantenring liegt die Situation vor (mit .), wobei die Faser zu durch beschrieben wird, also nicht reduziert ist. Der Rückzug dieses Schemas nach ist

Dies ist ein nicht normales Schema und insbesondere nicht isomorph zur affinen Gerade (wie dies bei der Abstiegskorrespondenz wäre), und die Faser über ist nicht reduziert. Da dieses Schema von herkommt, erfüllt es wiederum die Abstiegsbedingung.