Affine Gerade über (punktierter) Geraden/Operation der Einheitswurzel/Trivialisierbarkeit/Beispiel

Wir betrachten die durch ${}s\mapsto s^{n}=t$ definierte endliche étale Abbildung

$Y={\mathbb {A} }^{\times }\longrightarrow X={\mathbb {A} }^{\times }.$

Es sei ${}\mu _{n}$ die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln, die in natürlicher Weise aus ${}Y$ operiert und deren Quotient ${}X$ ist (${}n$ sei kein Vielfaches der Charakteristik). Die Operation lässt sich auf das triviale Geradenbündel ${}Y\times {\mathbb {A} }^{1}$ fortsetzen, z.B. durch

$\zeta \ast (s,v)=(\zeta s,\zeta v).$

Da die affine Gerade das einzige Geradenbündel auf ${}X$ ist, muss gemäß dem flachen Abstieg der Quotient dieser Operation auf dem Bündel gleich dem trivialen Bündel sein, obwohl die Operation nicht trivial „aussieht“. Der Punkt ist, dass diese Operation isomorph zur (in der Bündelkomponente) trivialen Operation ist. Die Operation

$\zeta \cdot (s,u)=(\zeta s,u)$

wird nämlich durch die Bündelisomorphie ${}u\mapsto s^{-1}v,\,v\mapsto su$ in die erste Operation überführt.

Wenn man ${}X$ und ${}Y$ durch die affinen Geraden ${}{\tilde {X}}={\mathbb {A} }^{1}$ und ${}{\tilde {Y}}={\mathbb {A} }^{1}$ ersetzt, so ist die durch ${}s\mapsto s^{n}=t$ gegebene Abbildung ebenfalls treuflach, aber nicht mehr étale. Dies bedeutet insbesondere, dass kein Isomorphismus zwischen ${}{\tilde {Y}}\times _{\tilde {X}}{\tilde {Y}}$ und ${}{\tilde {Y}}\times H$ vorliegt. In der Tat ist ja ${}{\tilde {Y}}\times H$ die ${}{\#\left(H\right)}$-fache disjunkte Kopie von ${}{\tilde {Y}}$, während

${}{\begin{aligned}{\tilde {Y}}\times _{\tilde {X}}{\tilde {Y}}&=\operatorname {Spec} {\left(K[s]\otimes _{K[t]}K[s]\right)}\\&=\operatorname {Spec} {\left(K[s,{\tilde {s}},t]/(s^{n}-t,{\tilde {s}}^{n}-t)\right)}\\&=\operatorname {Spec} {\left(K[s,{\tilde {s}}]/(s^{n}-{\tilde {s}}^{n})\right)}\end{aligned}}$

(bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen) die Vereinigung von ${}n$ Geraden im Nullpunkt ist.

In Folge dieses Unterschieds fallen auch die Abstiegsbedingung und die Invariantenbedingung auseinander. Es gibt nach wie vor nur das triviale Geradenbündel auf ${}{\tilde {Y}}$ mit der trivialen Operation und dem trivialen Abstieg. Die Operationen ${}\ast$ von ${}\mu _{n}$ auf ${}{\tilde {Y}}\times {\mathbb {A} }^{1}$ ist nicht mehr isomorph zur trivialen Operation, die oben über ${}Y$ angegebene Isomorphie bricht zusammen, da ${}s^{-1}$ nicht mehr zur Verfügung steht. Die nicht-triviale Operation erfüllt nicht mehr die Verträglichkeitsbedingung und hat daher keinen Abstieg.

Das Quotientenschema (im Sinne der Invariantentheorie, also das Spektrum des Invariantenrings) ist für ${}n\geq 2$ kein Geradenbündel über ${}X$, sondern enthält über dem Nullpunkt eine nichtreduzierte Faser mit einer Singularität. Der Invariantenring der Operation ist

$K[s,v]^{\mu _{n}}=K[s^{n},s^{n-1}v,\ldots ,sv^{n-1},v^{n}],$

der als ${}K[s^{n}]=K[t]$-Algebra zu betrachten ist. Wenn man ${}t=s^{n}$ invertiert, so kann man ${}s^{n-i}v^{i}=(s^{-n})^{i-1}(s^{n-1}v)^{i}$ für ${}i\geq 2$ schreiben und erhält das triviale Geradenbündel zu den Koordinaten

${}s^{n}$ und ${}s^{n-1}v$.

Bei ${}n=2$ handelt es sich bei der Operation ${}\ast$ um die Punktspiegelung der affinen Ebene ${}{\mathbb {A} }^{1}\times {\mathbb {A} }^{1}$ am Nullpunkt über der Punktspiegelung der affinen Geraden ${}{\tilde {Y}}={\mathbb {A} }^{1}$. Dabei wird die Faser über dem Nullpunkt auf sich selbst abgebildet (aber „umgeklappt“). Für den Invariantenring liegt die Situation ${}K[t]\subseteq K[s^{2},sv,v^{2}]\cong K[a,b,c]/(ac-b^{2})$ vor (mit $a=t=s^{2},\,b=sv,\,c=v^{2}$.), wobei die Faser zu ${}a=0$ durch ${}K[b,c]/(b^{2})$ beschrieben wird, also nicht reduziert ist. Der Rückzug dieses Schemas nach ${}{\tilde {Y}}$ ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {Spec} {\left((K[t]\otimes _{K[s]}K[a,b,c]/(ac-b^{2}))\right)}&=\operatorname {Spec} {\left(K[t,s,a,b,c]/(tc-b^{2},t-s^{2},a-s^{2})\right)}\\&=\operatorname {Spec} {\left(K[s,b,c]/(s^{2}c-b^{2})\right)}.\end{aligned}}$

Dies ist ein nicht normales Schema und insbesondere nicht isomorph zur affinen Gerade (wie dies bei der Abstiegskorrespondenz wäre), und die Faser über ${}s=0$ ist nicht reduziert. Da dieses Schema von ${}{\tilde {X}}$ herkommt, erfüllt es wiederum die Abstiegsbedingung.