Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten Realisierungen ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ und ${}W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Es seien Ketten von irreduziblen Mengen

${}V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{r-1}\subset V_{r}=V\subset V_{r+1}\subset \ldots \subset V_{m-1}\subset V_{m}={{\mathbb {A} }_{}^{m}}\,$

und

${}W_{0}\subset W_{1}\subset \ldots \subset W_{s-1}\subset W_{s}=W\subset W_{s+1}\subset \ldots \subset W_{n-1}\subset W_{n}={{\mathbb {A} }_{}^{n}}\,$

gegeben. Solche Ketten gibt es nach Fakt. Somit liegt eine Kette

${}V_{0}\times W_{0}\subset \ldots \subset V_{r}\times W_{0}\subset \ldots \subset V_{r}\times W_{s}\subset \ldots \subset V_{m}\times W_{s}\subset \ldots \subset V_{m}\times W_{n}={{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}\,$

von nach Fakt irreduziblen Teilmengen vor. Die Kette von ${}V_{0}\times W_{0}$ bis ${}V_{r}\times W_{s}=V\times W$ zeigt, dass die Dimension von ${}V\times W$ zumindest ${}r+s$ ist. Würde es in ${}V\times W$ eine längere Kette geben, sagen wir der Länge ${}t>r+s$, so könnte man diese durch die obige Teilkette von ${}V\times W$ bis ${}V_{m}\times W_{n}$ zu einer Kette der Länge

${}t+m-r+n-s>r+s+m-r+n-s=m+n\,$

des ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}$ führen, was nach Fakt und Fakt nicht sein kann.

Zur bewiesenen Aussage