Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Reell und komplex/Y^2+X^2(X+1)^2/Beispiel

Wir betrachten die Gleichung

${}F=Y^{2}+X^{2}(X+1)^{2}=0\,.$

In den reellen Zahlen hat diese Gleichung zwei Lösungen: da ein reelles Quadrat nie negativ ist, kann ${}F$ nur dann ${}0$ sein, wenn beide Summanden null sind, und das impliziert einerseits ${}Y=0$ und andererseits ${}X=0$ oder ${}X=-1$. Insbesondere ist die reelle Lösungsmenge nicht zusammenhängend und nicht irreduzibel (und das Verschwindungsideal zur reellen Situation ist sehr groß).

Betrachtet man ${}F$ dagegen über den komplexen Zahlen, so gibt es eine Faktorisierung

${}F=(Y+{\mathrm {i} }X(X+1))(Y-{\mathrm {i} }X(X+1))\,$

in irreduzible Polynome. Dies zeigt zugleich, dass ${}F$ als Polynom in ${}\mathbb {R} [X,Y]$ irreduzibel ist (obwohl das reelle Nullstellengebilde nicht irreduzibel ist). Die Nullstellenmenge über den komplexen Zahlen besteht aus den beiden Graphen ${}Y=\pm {\mathrm {i} }X(X+1)$, die sich in ${}(0,0)$ und ${}(-1,0)$ schneiden.

Bei der Gleichung ${}Y^{2}+Z^{2}+X^{2}(X+1)^{2}$ gibt es wieder nur zwei reelle Lösungspunkte, das Polynom ist aber sowohl reell als auch komplex betrachtet irreduzibel.