Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Reell und komplex/Y^2+X^2(X+1)^2/Beispiel

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Wir betrachten die Gleichung

In den reellen Zahlen hat diese Gleichung zwei Lösungen: da ein reelles Quadrat nie negativ ist, kann nur dann sein, wenn beide Summanden null sind, und das impliziert einerseits und andererseits oder . Insbesondere ist die reelle Lösungsmenge nicht zusammenhängend und nicht irreduzibel (und das Verschwindungsideal zur reellen Situation ist sehr groß).

Betrachtet man dagegen über den komplexen Zahlen, so gibt es eine Faktorisierung

in irreduzible Polynome. Dies zeigt zugleich, dass als Polynom in irreduzibel ist (obwohl das reelle Nullstellengebilde nicht irreduzibel ist). Die Nullstellenmenge über den komplexen Zahlen besteht aus den beiden Graphen , die sich in und schneiden.

Bei der Gleichung gibt es wieder nur zwei reelle Lösungspunkte, das Polynom ist aber sowohl reell als auch komplex betrachtet irreduzibel.