Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Schnitt von zwei gleichgroßen Zylindern/Zwei Kreise/Beispiel

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir betrachten im affinen Raum () die beiden Zylinder

Das sind beides irreduzible Mengen, wie wir später sehen werden (für unendlich). Wie sieht ihr Durchschnitt aus? Der Durchschnitt wird durch das Ideal beschrieben, das durch und erzeugt wird. Zieht man die eine Gleichung von der anderen ab, so erhält man

Die beiden einzelnen Faktoren gehören aber nicht zu , da beispielsweise ein Punkt des Schnittes ist, an dem nicht verschwindet (Charakteristik ), und ein Punkt des Schnittes ist, an dem nicht verschwindet. Die Komponenten des Schnittes werden vielmehr durch

beschrieben. Das sind beides Primideale, der Restklassenring ist

Um die zweite Gleichung einzusehen, eliminiert man mit der hinteren Gleichung, und die beiden Zylindergleichungen werden dann identisch. Ebenso ist die Argumentation für das andere Ideal. Geometrisch gesprochen heißt dies, dass ein Punkt des Durchschnittes in der Ebene oder in der Ebene liegt. Es ist

und ebenso für , da auf diesen Ebenen die beiden Zylindergleichungen identisch werden.

Wie sehen die Durchschnitte in den Ebenen aus? Wir betrachten die Ebene mit den Koordinaten und . Es ist dann und damit kann man die erste Zylindergleichung als

schreiben. Auf der Ebene , die ja durch festgelegt ist, wird aus dieser Gleichung

also . Dies ist die Gleichung einer Ellipse, was auch anschaulich klar ist. Man beachte, dass in der obigen Berechnung des Restklassenringes aber eine Kreisgleichung auftritt. Dies sollte deshalb nicht überraschen, da Kreis und Ellipse durch eine lineare Variablentransformation ineinander überführbar sind und dass daher insbesondere die Restklassenringe isomorph sind. Als metrisches Gebilde sind Kreis und Ellipse verschieden, und der Durchschnitt der beiden Zylinder besteht aus zwei Ellipsen. Bei einer orthonormalen Variablentransformation bleibt die metrische Struktur erhalten. Die Variablen definieren aber keine orthonormale Transformation.

Halten wir also fest: Der Durchschnitt der beiden Zylinder ist

wobei und zwei Ellipsen beschreiben.

Wie liegen diese beiden Ellipsen zueinander? Dazu berechnen wir ihren Durchschnitt, der durch die Summe von und beschrieben wird. Es ist

Die Lösungsmenge davon besteht aus den beiden Punkten und .