Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Sei  $V\subseteq {𝔸}_K^m$  und  $W\subseteq {𝔸}_K^n$.  Die Abbildung (zu einem fixierten $x\in V$)

$W⟶V\times W,y⟼(x,y),$

ist eine Einschränkung der Abbildung

${𝔸}_K^n⟶{𝔸}_K^m\times {𝔸}_K^n,y⟼(x,y).$

Diese induziert eine Bijektion auf die abgeschlossene Teilmenge $x\times {𝔸}_K^n$. Sie ist stetig, da Urbilder von Nullstellenmengen wieder Nullstellenmengen sind, und sie bildet Nullstellenmengen auf Nullstelenmengen ab, da man beschreibende Polynome in den $n$ Variablen direkt in den $m+n$ Variablen auffassen kann. Es werden also abgeschlossene Teilmengen auf abgeschlossene Teilmengen abgebildet und somit liegt eine Homöomorphie vor. Diese Eigenschaften übertragen sich auf die Einschränkung.

Zur bewiesenen Aussage