Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ und ${}W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Die Abbildung (zu einem fixierten ${}x\in V$)

$W\longrightarrow V\times W,\,y\longmapsto (x,y),$

ist eine Einschränkung der Abbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,y\longmapsto (x,y).$

Diese induziert eine Bijektion auf die abgeschlossene Teilmenge ${}x\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Sie ist stetig, da Urbilder von Nullstellenmengen wieder Nullstellenmengen sind, und sie bildet Nullstellenmengen auf Nullstelenmengen ab, da man beschreibende Polynome in den ${}n$ Variablen direkt in den ${}m+n$ Variablen auffassen kann. Es werden also abgeschlossene Teilmengen auf abgeschlossene Teilmengen abgebildet und somit liegt eine Homöomorphie vor. Diese Eigenschaften übertragen sich auf die Einschränkung.

Zur bewiesenen Aussage