Affiner Raum/Irreduzibilität/Unendlicher Körper/Beispiel

Wir betrachten den affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Wenn ${}K$ endlich ist, so besteht der Raum nur aus endlich vielen Punkten und nur die einpunktigen Teilmengen sind irreduzibel. Insbesondere ist der affine Raum außer bei  ${}n=0$  nicht irreduzibel.

Bei unendlichem ${}K$ ist der affine Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ hingegen irreduzibel. Es sei nämlich  ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=Y\cup Z$  mit echt kleineren affin-algebraischen Teilmengen. D.h. für die offenen Komplemente  ${}U={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus Y$  und  ${}W={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus Z$  ist einerseits  ${}U,W\neq \emptyset$,  aber  ${}U\cap W=\emptyset$.  Das widerspricht aber Aufgabe.