Affiner Raum/Irreduzibilität/Unendlicher Körper/Beispiel

Wir betrachten den affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Wenn ${}K$ endlich ist, so besteht der Raum nur aus endlich vielen Punkten und nur die einpunktigen Teilmengen sind irreduzibel. Insbesondere ist der affine Raum außer bei ${}n=0$ nicht irreduzibel.

Bei unendlichem ${}K$ ist der affine Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ hingegen irreduzibel. Es sei nämlich ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=Y\cup Z$ mit echten affin-algebraischen Teilmengen. D.h. für die offenen Komplemente ${}U={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus Y$ und ${}W={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus Z$ ist einerseits ${}U,W\neq \emptyset$, aber ${}U\cap W=\emptyset$. Das widerspricht aber Aufgabe.