Affiner Raum/Offene Menge/Globale Funktion/Beispiel

Auf einem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=\operatorname {Spek} {\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ ist

${}\Gamma (D(X_{1},X_{2}),{\mathcal {O}}_{X})=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,,$

da eine Gleichung der Form

${}{\frac {P}{X_{1}^{k}}}={\frac {Q}{X_{2}^{\ell }}}\,$

wegen der Faktorialität des Polynomringes nur im trivialen Fall möglich ist, also wenn ${}X_{1}^{k}$ ein Teiler von ${}P$ ist.