Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/Arbeitsblatt

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Aufgabe

Beweise den Satz von Schwarz für den Polynomring über einem beliebigen Körper , also die Vertauschbarkeit von formalen partiellen Ableitungen.


Aufgabe

Zeige, dass der Ring der Differentialoperatoren auf nicht kommutativ ist.


Aufgabe

Es sei ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad . Zeige die Beziehung


Aufgabe *

Es sei eine kommutative -Algebra über einem kommutativen Ring . Zu bezeichne

die -lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei -linearen Abbildungen

bezeichne

Es sei eine -Derivation. Zeige, dass zu jedem die Abbildung eine Multiplikationsabbildung ist.


Aufgabe

Es sei eine kommutative -Algebra und ein multiplikatives System. Es sei eine -Derivation. Zeige, dass durch

eine Derivation auf der Nenneraufnahme gegeben ist, die fortsetzt.


Aufgabe

Es sei eine kommutative -Algebra und sei eine -lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist ein Differentialoperator der Ordnung .
  2. Für beliebige Elemente gilt


Aufgabe

Rekapituliere den Satz über implizite Abbildungen.


Aufgabe

Beschreibe die Derivationen auf und zeige, dass es keine unitäre Derivation darauf gibt.


Aufgabe

Wir betrachten den von den beiden Kanten und eingeschlossenen zweidimensionalen Kegel und das zugehörige Monoid . Bestimme die beschreibenden Linearformen und die Signaturen des Kegels.


Aufgabe

Es sei ein spitzer rationaler polyedrischer Kegel und eine Facette des Kegels. Es sei

eine Linearform, in deren Kern die Facette liege. Die Linearform sei durch teilerfremde ganzzahlige Koeffizienten gegeben. Zeige, dass oder die beschreibende integrale Linearform zu ist.


Aufgabe

Bestimme im Monoidring die kanonischen unitären Differentialoperatoren (und ihre Ordnung) für die Monome

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Bestimme im Monoidring die kanonischen unitären Differentialoperatoren (und ihre Ordnung) für die Monome

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Bestimme für den numerischen Halbgruppenring unitäre Differentialoperatoren für die Elemente .