Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/Arbeitsblatt
Aufgabe
Beweise den Satz von Schwarz für den Polynomring über einem beliebigen Körper , also die Vertauschbarkeit von formalen partiellen Ableitungen.
Aufgabe
Zeige, dass der Ring der Differentialoperatoren auf nicht kommutativ ist.
Aufgabe
Es sei ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad . Zeige die Beziehung
Aufgabe *
Es sei eine kommutative -Algebra über einem kommutativen Ring . Zu bezeichne
die -lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei -linearen Abbildungen
bezeichne
Es sei eine -Derivation. Zeige, dass zu jedem die Abbildung eine Multiplikationsabbildung ist.
Aufgabe
Es sei eine kommutative -Algebra und ein multiplikatives System. Es sei eine -Derivation. Zeige, dass durch
eine Derivation auf der Nenneraufnahme gegeben ist, die fortsetzt.
Aufgabe
Es sei eine kommutative -Algebra und sei eine -lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
- ist ein Differentialoperator der Ordnung .
- Für beliebige Elemente gilt
Aufgabe
Rekapituliere den Satz über implizite Abbildungen.
Aufgabe
Beschreibe die Derivationen auf und zeige, dass es keine unitäre Derivation darauf gibt.
Aufgabe
Wir betrachten den von den beiden Kanten und eingeschlossenen zweidimensionalen Kegel und das zugehörige Monoid . Bestimme die beschreibenden Linearformen und die Signaturen des Kegels.
Aufgabe
Es sei ein spitzer rationaler polyedrischer Kegel und eine Facette des Kegels. Es sei
eine Linearform, in deren Kern die Facette liege. Die Linearform sei durch teilerfremde ganzzahlige Koeffizienten gegeben. Zeige, dass oder die beschreibende integrale Linearform zu ist.
Aufgabe
Bestimme im Monoidring die kanonischen unitären Differentialoperatoren (und ihre Ordnung) für die Monome
- ,
- ,
- .
Aufgabe
Bestimme im Monoidring die kanonischen unitären Differentialoperatoren (und ihre Ordnung) für die Monome
- ,
- ,
- .
Aufgabe
Bestimme für den numerischen Halbgruppenring unitäre Differentialoperatoren für die Elemente .