Algebraische Differentialoperatoren/Rational/Projektiver Raum/Bemerkung

Wir betrachten den affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und den projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Die projektiven Koordinaten seien ${}y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}$, ein affiner Ausschnitt davon ist

${}D_{+}(y_{0})=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {y_{1}}{y_{0}}},\ldots ,{\frac {y_{n}}{y_{0}}}]\right)}\,.$

Wir setzen

${}u_{i}={\frac {y_{i}}{y_{0}}}\,.$

Dann sind die partiellen Ableitungen ${}\partial _{u_{i}}$ auf die anderen affinen Stücke ausdehnbar. Mit

${}D_{+}(y_{n})=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {y_{0}}{y_{n}}},\ldots ,{\frac {y_{n-1}}{y_{n}}}]\right)}=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {u_{j}}{u_{n}}},j\neq 0,n,\,{\frac {1}{u_{n}}}]\right)}\,.$

Dabei ist

${}\partial _{u_{j}}{\left({\frac {u_{r}}{u_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {1}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {u_{r}}{u_{s}^{2}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,.\end{cases}}\,$

Somit handelt es sich um eine Derivation auf dem projektiven Raum.

${}y_{i}\partial _{y_{j}}{\left({\frac {y_{r}}{y_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {y_{i}}{y_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {y_{i}y_{r}}{y_{s}^{2}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,.\end{cases}}\,$

Speziell ist für ${}y_{0}\partial _{y_{j}}$

${}y_{0}\partial _{y_{j}}{\left({\frac {y_{r}}{y_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {y_{0}}{y_{s}}}={\frac {1}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {y_{0}y_{r}}{y_{s}^{2}}}=-{\frac {1}{u_{s}}}\cdot {\frac {u_{r}}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,,\end{cases}}\,$

das stimmt also mit ${}\partial _{u_{j}}$ überein.